Loi binomiale - Espérance et Variance

[invite7d5105d1]

Bonjour à tous et à toutes

En 1ère S, on admet que :
est une variable aléatoire
On pose


Puis-je en avoir la démonstration ?

Merci
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[gg0]

Bonjour.

Une démonstration de quel niveau ?
Dans les cours de niveau universitaire, on utilise souvent la somme de n variables de Bernoulli iid, et ces formules sont des conséquences évidentes de l'indépendance et du fait que la loi de Bernoulli de paramètre p a pour moyenne p et variance (1-p). il ne reste qu'à additionner.
Sinon, comme une loi binomiale peut ne pas être obtenue ainsi, on fait les calculs classiques en utilisant les développements de (1+x)ⁿ et de ses dérivées.

Tu devrais pouvoir trouver ça facilement sur Internet.

Cordialement.

[invite7d5105d1]

Niveau : 1ère S (voire Terminale si on ne peut qu'admettre ce résultat à mon niveau, je maîtrise certaines notions qui me sont supérieures)

Merci

[invite7d5105d1]

Bonjour,

Dans les cours de niveau universitaire, on utilise souvent la somme de n variables de Bernoulli iid, et ces formules sont des conséquences évidentes de l'indépendance et du fait que la loi de Bernoulli de paramètre p a pour moyenne p et variance (1-p). il ne reste qu'à additionner.

Je maîtrise la notion de somme et la manipule pour l'instant avec aisance.
En ce qui concerne l'espérance, c'est évident comme vous l'avez dit, je pense avoir compris (si vous permettez que je vous présente ce que je pense avoir compris, voici ce que cela donnerait : )
Soit une variable aléatoire suivant la loi de Bernouilli :
On note l'espérance de X
Soit une variable aléatoire suivant la loi Binomiale : associée à répétitions de l'épreuve de Bernouilli correspondant à




Pour la variance, je n'en ai pas trop idée

Sinon, comme une loi binomiale peut ne pas être obtenue ainsi, on fait les calculs classiques en utilisant les développements de (1+x)ⁿ et de ses dérivées.

Je vous écoute, je maîtrise le calcul des sommes télescopiques et le binôme de Newton

Merci (^_^)

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Pour la variance c'est le même calcul : pour des variables indépendantes, les variances s'additionnent.

Pour la méthode calculatoire, pars de la formule de Newton (1+x)ⁿ = ... et dérive deux fois. Tu obtiens deux nouvelles formules, à arranger un peu pour aavoir une somme de 1 à n à chaque fois. L'une donne l'espérance, l'autre l'espérance du carré dont on déduit la variance.

A toi de faire les calcul, je t'aiderai à continuer si tu finis par bloquer.

Cordialement.

[invite7d5105d1]

Ensuite ? :s

[gg0]

La formule de Newton comporte un = et deux membres. Elle dit que deux écritures d'une fonction sont égales. Donc les dérivées calculées avec ces deux écritures sont égales :

On dérive :
(1)
La deuxième somme commence à 1, car la premier terme de la somme est une constante, de dérivée 0.
Le second membre est à peu près ce que l'on veut, sauf que x n'est pas au bon degré, et qu'il n'y a pas le terme pour k=0. mais 0 x⁰ vaut 0 (on prend x⁰=1 pour tout x), donc on peut multiplier les deux membres par x, et commencer la somme à k=0 :

Qui est la formule nécessaire (je te laisse voir). A toi aussi d'établir la deuxième formule ...


En complément, un calcul :
On repart de l'égalité (1).
(1)
En remplaçant k par p+1 (donc p démarre à 1 et termine à n-1) :

Or
Donc

Le n se factorise dans le second membre puis se simplifie avec celui du premier membre. En remplaçant n par n+1 on obtient finalement :

On est retombé sur la formule de Newton. C'est, fait à l'envers, un autre calcul pour obtenir (1) sans dériver. C'est quand même plus rapide par dérivation.

Cordialement.

[invite4842e1dc]

Démonstration de

qui est la formule nécessaire....

Bonjour

Pour le calcul de l'espérance d'une variable aléatoire qui suit la loi Binomiale de paramètre et :

je connaissais la méthode basée sur la linéarité de l'espérance (somme de n épreuves de Bernouillli de paramètre p)
par contre j'ai eu beaucoup de mal à comprendre l'utilité de la formule donnée par gg0

Aussi je me permets de détailler le calcul de l'espérance de la V.A. à partir de cette formule
(@Upium666 : il te reste à faire le calcul de la variance qui utilise la formule issue de la dérivée seconde.... bonne chance.....)

Comme

On a :


cqfd