Géométrie matricielle

[invitebbd6c0f9]

Bonsoir ^^

Une question pour de la géométrie matricielle!

Dans , on considère une rotation d'ace et d'angle qui envoie sur et la rotation d'axe et d'angle qui envoie sur .

(a) Calculer la matrice de et de :

J'ai trouvé pour cela ainsi que . Je pense ne pas m'être trompé

(b) Calculer la matrice de .

J'ai trouvé . Je pense également ne pas m'être trompé.

(c) Donner l'image des vecteurs de la base canonique sous :

Ça me semble assez easy, , et .

(d) Reconnais-tu la matrice de comme étant celle d'une rotation ? Quel est son axe? L'angle de rotation?

C'est là que je bloque... La question laisserais tendre à croire que la rotation existe...

Pourtant, j'ai beau regarder mon schéma, je ne vois pas quelle diable de rotation trnasformerait ces trois vecteurs de la base canonique ainsi.

Je voulais vous demander si la rotation existe ou non, et s'il y avait éventuellement une méthode pour déterminer l'axe et l'angle.

Merci d'avance!

Cordialement
-----

[Seirios]

Bonsoir,

Si est un vecteur de l'axe de rotation, alors . En résolvant le système associé, on trouve comme axe potentiel la droite engendrée par le vecteur . Pour l'angle de rotation, il suffit de remarquer que la trace d'une matrice de rotation d'angle vaut ; ici, cela donne un angle potentiel de .

[invitebbd6c0f9]

Bonsoir Seirios,

Tout d'abord, merci de votre réponse tout à fait complète!

Je ne comprends pas juste vraiment très bien ce que singifie ...

Comme est une transformation, associé à un vecteur...

Vouliez-vous dire ? Ou alors ?

Je suppose alors qu'on pose , mais je ne vois pas trop comment résoudre en général...

Je viens de découvrir qu'est-ce qu'une trace de matrice ^^' Intéressant tout de même!

Juste pour être sûr, c'est bien par exemple dans la matrice de la rotation , on additionne , c'est bien ça?

Pourriez-vous m'expliquer quelle relation y a-t-il entre la trace d'une matrice (en occurence ) et l'angle de la rotation, et aussi comment avez-vous déduit l'angle ?

Merci de vos réponses

Cordialement

[invitebbd6c0f9]

Désolé pour le double post...

L'angle de rotation ne serait pas plutôt ?

Car par exemple, le vecteur est envoyé sur , et l'angle entre les axes est de 90°, non?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebbd6c0f9]

Je me réponds moi-même x) (vraiment désolé pour ce triple-post...).

Je pense avoir compris l'histoire de l'angle : on a la trace de la matrice rho qui vaut 0 et celle pour les rotations qui vaut toujours 1+2cos(theta).

Donc, on pose 0 = 1+ 2cos(theta) <=> cos(theta) = -1/2 <=> theta = + 3pi/2 ou - 3pi/2.

Il reste le système à résoudre dont je ne vois pas quels termes il faut placer dedans, quand je regarde p * v = v, je ne comprends vraiment pas, j'ai l'impression que soit p=1 ou v=0 pour que l'égalité marche, je m'intrigue...

Bref, merci encore de la réponse, en attente d'une nouvelle réponse =D

Cordialement

[Seirios]

Si , alors (ou si tu préfères) équivaut à ou encore : c'est simplement un système linéaire de trois équations.

[invitebbd6c0f9]

Magnifique raisonnement!

Merci beaucoup pour votre démarche! =)

Je connaissais ni la trace d'une matrice ni cet ingénieux truc pour trouver l'axe, et ce que vous m'avez appris est super intéressant ^^

Cordialement

[Seirios]

Un mise en garde tout de même : le lien entre l'angle d'une rotation et la trace nécessite que la trace ne dépend pas de la base dans laquelle on la calcule, c'est-à-dire . En fait, on a plus généralement .

[invitebbd6c0f9]

Ok!

Merci beaucoup pour la complétion! Je reviens tout de suite avec un autre problème de matrices !