[Jeu] Géométrie tridimensionnelle - équations de sphères et de plans

[invitebbd6c0f9]

Bonjour à tous

Je voulais lancer un petit "Jeu-Concours" où le but était de répondre correctement à quatre problèmes, qui vous demanderont perspicacité et perséverance (j'y ai personnellement passé deux jours d'arrachage de cheveux ^^).

Si vous avez une réponse à proposer, je vous propose de l'indiquer entre les balises [SPOILER], pour ne pas gâcher le plaisir de certains qui n'auraient pas encore trouvé

Sans plus tarder, les voici :

Exercice 1.

Déterminer les équations cartésiennes des plans contenant la droite et qui forment un angle de 60° avec le plan .



Exercice 2.

Déterminer les équations cartésiennes des plans dont la distance à l'origine est , qui forment un angle de avec l'axe et un angle de avec l'axe .



Exercice 3.

Un rayon lumineux issu du point se réfléchit sur un miroir plan d'équation . Le rayon réfléchi passe par le point . Trouver les coordonnées du point où le rayon lumineux frappe le miroir.



Exercice 4.

Déterminer l'équation de la sphère inscrite dans le tétraèdre dont les sommets sont .



Voilà, j'ai eu cette idée, mais c'est juste pour le fun, libre à vous d'y participer ou pas Je détiens les corrigés de ces exercices, ce n'est donc pas pour moi-même ^^.

Bonne chance à vous

Cordialement
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[invite8ab5fa54]

C'est fait à la va-vite il est très probable que ce soit faux mais je tente quand-même .Y'a des trucs non justifiés

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Exercice 2 : Soit P : ax+by+cz+d = 0 . Comme la distance à l'origine est 1 , on a d² = a² + b² + c² . Le vecteur n = (a,b,c) normal à P, fait un angle Pi/2 - Pi/6 = Pi/3 (à Pi près) avec le vecteur (1,0,0) et un angle Pi/2 - Pi/4 = Pi/4 (à Pi près) avec le vecteur (0,1,0) .
cos²(Pi/3) = 1/4 = a² / (a² +b² + c²) = a² / d²
cos²(Pi/4) = 1/2 = b² / (a² + b² + c²) = b² / d² (Par le produit scalaire) .
On a ainsi a² = d² / 4 et b² = d² / 2 . On en déduit c² = d² / 4 .
a = |d| / 2 ; b= |d| / ; c= |d| / 2 .
On en déduit l'ensemble des équations cartésiennes des plans vérifiant ces conditions : A = { (1/2) x + (1/) y + (1/2) z + d = 0 , d {-1,1} }

[invitebbd6c0f9]

Pour Noct :

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Presque! Tout d'abord, je tiens à dire que je n'aurais jamais pu faire ces corrections si je n'avais pas le corrigé sous les yeux ^^.

En reprenant l'avant-avant dernière ligne de ton raisonnement, je remplacerais :

.

On peut donc ensuite poser par exemple , et on obtient alors plus d'équations de plans recherchés

Cordialement

.

[invite8ab5fa54]

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Oui c'est vrai je suis allé un peu trop vite, j'ai zappé la valeur absolue . On a donc 8 équations de plans (suivant les valeurs positives ou négatives de a, b et c (en posant par exemple d=1) .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8ab5fa54]

J'essaie l'exercice 1 :

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Soit P : , vérifiant ces conditions:
P contient la droite donc le vecteur normal à P est de la forme donc .
De plus P contient le point O donc d=0 .
L'équation de P est donc de la forme
Le vecteur normal fait un angle de 60° avec le vecteur
On a donc
D'où ou encore
Il vient alors . En fixant b , on obtient une équation du 2nd degré en a :
. Donc ou
Les deux plans solutions sont donc et .
??

[invitebbd6c0f9]

Pour Noct

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C'est juste PARFAIT!

Je suis impressionné par une telle justesse des réponses, la démarche est exactement la même du début jusqu'à la fin, bravo

Reste maintenant l'exercice 3 et 4 :3 .

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