démonstration sur les fonctions

[GaelD]

Bonjour,

On considère la fonction h définie par :
h(x) = - x² – 2x + 3

Démontrer que h(x) = -(x – 1)(x + 3)

Je cherche une identité remarquable mais je n'en trouve pas.

Quelqu'un peut m'aider ?
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[Samuel9-14]

Tu as vu dans ton cours qu'un polynome de degré deux peut se mettre sous la forme
a(x-x₁)(x-x₂), où x₁ et x₂ sont les racines du polynôme

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Si tu ne sais pas factoriser (parce que là c'est une factorisation sans identité remarquable), développe (en espérant que tu saches comment on fait ) la forme factorisée de h(x) pour obtenir la forme -x² - 2x + 3.
C'est une équivalence.

Sinon la version simplifiée de Samuel9-14 qui consiste à trouver une racine évidente

Duke.

[GaelD]

Ah oui )
Merci beaucoup.

[A voir en vidéo sur Futura]

[GaelD]

Merci Duke j'avais pensé à ta solution mais ce n'est plus vraiment une démonstration si on part de la deuxième formulation, si ?

[Noct]

SI . Tu peux partir de la deuxième forme et développer c'est une démonstration juste mathématiquement

[GaelD]

Donc si j'ai bien tout compris (parce que j'ai tout lu Freud), il faut que je passe par le discriminant pour déterminer les racines et pouvoir le mettre sous la forme factorisée ?
Avec -1 comme racine évidente.

[GaelD]

Ok ben si c'est juste aussi on fera comme ça, c'est plus simple )

[PlaneteF]

Bonsoir,

Donc si j'ai bien tout compris (parce que j'ai tout lu Freud), il faut que je passe par le discriminant pour déterminer les racines et pouvoir le mettre sous la forme factorisée ?
Avec -1 comme racine évidente.

Si tu trouves une racine "évidente", tu n'as pas besoin de calculer le discriminant !

[GaelD]

Euh ...
Et la deuxième racine, je la détermine comment alors ?

[gg0]

Bonsoir.

Si l'équation ax²+bx+c=0 (avec a non nul) a deux solutions (distinctes ou égales) x' et x", alors x"x'=c/a et x"+x'=-b/a (calcul facile à partir de la formule.

Cordialement.

[The_Anonymous]

Je vais t'expliquer ma méthode d'élève pour passer de la première à la deuxième formule, j'espère qu'elle te sera compréhensible et qu'elle pourra éventuellement te servir

Dans l'équation générale , ou plus précisément dans ton cas , il faut que donc dans ton cas que , ainsi que donc dans ton cas que , et finalement que . Tu peux déjà vérifier avec les solutions que tu as, ça marche.

Après, pour déterminer ces solutions manuellement, tu peux te donner à de la résolution mentale dans la limite du possible, ou bien tout simplement, si les équations sont trop compliquées, poser un système de 3 équations à 3 inconnues.

Ici, tu as déjà , puis tu résous encore :

.

Comme et sont interchangeables, tu peux choisir la solution que tu veux pour b, ce qui déterminera c :

(car (-2+3)3 = 1 * 3 = 3)
Donc, .

En plaçant les valeurs, tu retombes bien sur :

.

Et alors tu trouves les solutions évidentes pour , .

Cordialement

[Samuel9-14]

Moi personnellement j'aurais vérifié que 1 et -3 sont racines du polynôme, si oui (et c'est le cas), alors f(x) peut bien s'écrire comme on l'a écrite.
Je ne sais pas si c'est comme ça que Duke Alchemist et PlaneteF voulaient procéder pour trouver une racine évidente, mais ça me semble le plus simple.

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Le développement marche très bien et c'est tout aussi rigoureux qu'une autre version malgré les apparences

Pour la méthode des racines évidentes :
Premièrement, j'aurais factorisé par -1 (qui correspond au a proposé par The_Anonymous) et on obtient -(x²+2x-3)
Il est clair que 1 est racine évidente et l'autre racine est telle que le produit des racines vaut c/a (avec a et c issus de l'expression générale ax²+bx+c) donc ici -3.
On conclut la factorisation de h(x) sous la forme -(x-1)(x+3).

Il y a aussi possibilité de passer par la forme canonique (méthode qu'il faut connaître car souvent utilisée pour des raisons pratiques) qui consiste à faire apparaître le début d'un carré parfait :
-x²-2x+3 = -(x²+2x-3)
On reconnaît le début d'un carré (identité remarquable) entre parenthèses : x²+2x+1 = (x+1)²
Ainsi -(x²+2x-3) = -(x²+2x+1) -1 -3) = -((x+1)² - 4) = -((x+1)² - 2²)
Et là, on reconnaît encore une identité remarquable a²-b² = (a+b)(a-b)
-((x+1)+2)((x+1)-2)) = -(x+3)(x-1).

La méthode proposée par The_Anonymous (message #12) est l'identification des coefficients qui peut être aussi très utiles.

En fait, il y a plein de moyens pour répondre à la question posée. Cela te permet de voir les différentes méthodes de résolution. Si on ne t'en impose pas une, utilise celle que tu veux.

Duke.

[pallas]

quand tu as une racine evdente ( !) tu utilises le produit des solutions qui est P = c/a donc lautre racine est P/racine evidente
voici queleques exemples :

2x²+3x+1= 0 x'=-1 p=1/2 donc x''=-1/2
-x²+3x+10= 0 x'=-2 P=-5 donc x"= -5/2
a toi de faire les suivantes

3x²+2x-5=0
-4x²+x+14=0
x²+12ax- 13a²=0 etc...