Surjectivité d'une application de complexes

[The_Anonymous]

Bonsoir! C'est .... C'est ... Bah oui c'est encore moi ^^

Je bloque sur une partie d'exercice que voilà :

Soient et , où est l'ensemble de tous les qui vérifient .

1) Déterminer l'ensemble de tous les tels que .

2) L'application telle qu'elle est définie ci-dessus est-elle surjective sur ? (Justifier).

De mon côté :

[1] : (Et cette fois, on a le droit car ! ).
Et donc en posant , on a .

Sauf erreur, on a alors l'ensemble , ou alors pour de la géométrie, sauf erreur à nouveau, le cercle de centre et de rayon .

[2] : C'est là que je bloque... Je ne sais pas s'il faut voir cette application comme une transformation géométrique, et si oui, je ne sais pas comment la visualiser, ou bien s'il faut se contenter d'un raisonnement algébrique.

J'ai revu un peu la surjectivité, et alors si l'application n'est pas surjective, il faut trouver un de qui n'est la préimage d'aucun , ou alors prouver le comtraire.

Mais je n'ai aucune idée de comment m'y prendre... Pourriez-vous m'éclairer, s'il vous plaît?

Merci d'avance

Cordialement
-----

[Seirios]

Bonjour,

Pour la (1), sachant que la norme d'un complexe peut s'interpréter comme la distance à l'origine d'un point du plan, tu peux tout de suite dire que l'ensemble des complexes de norme b/a correspond au cercle de rayon b/a centré en l'origine.

Pour la (2), le problème se pose ainsi : Soit . Existe-t-il tel que ?

[The_Anonymous]

Merci pour la réponse =D

1) Cela confirme ce que j'ai indiqué, je suis rassuré

2) Merci pour la reformulation du problème, c'est plus clair pour moi

Pour moi, la réponse est du coup oui. Je n'ai pas trouvé de raisonnement géométrique (quelle est la transformation qui correspond à la multiplication?), c'est pourquoi je procède algébriquement :

.

On prouve donc que .

Mais là du coup je bloque... On a :

avec .

Je ne vois pas trop comment avancer...

Merci de votre aide!

[gg0]

Tu te compliques la vie !

La réponse à la question de Seirios est immédiate !
Si tu ne vois pas, prends par exemple a=5, w=3+4i, b=13 et u=12+5i puis repose le problème.

Cordialement.

NB : La transformation qui correspond à la multiplication par un complexe s'appelle une similitude.

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

Pour la (2), le problème se pose ainsi : Soit . Existe-t-il tel que ?

Bonjour,

Dans la mesure où l'application en question est définie sur les éléments de C dont le module est b/a (sinon l'image d'un élément ne pourrait pas être dans Eb qui est l'ensemble d'arrivée de cette application), le z recherché doit donc appartenir à C avec module = b/a.

[PlaneteF]

Pour la (2), le problème se pose ainsi : Soit . Existe-t-il tel que ?

Bonjour,

Dans la mesure où l'application en question est définie sur les éléments de C dont le module est b/a (sinon l'image d'un élément ne pourrait pas être dans Eb qui est l'ensemble d'arrivée de cette application), le z recherché doit donc appartenir à C avec son module = b/a.

Cordialement

[PlaneteF]

Oups désolé pour ce doublon intempestif (problème de la base de donnée de ce site).

[The_Anonymous]

Merci pour les réponses!

Tu te compliques la vie !

La réponse à la question de Seirios est immédiate !
Si tu ne vois pas, prends par exemple a=5, w=3+4i, b=13 et u=12+5i puis repose le problème.

Cordialement.

NB : La transformation qui correspond à la multiplication par un complexe s'appelle une similitude.

On a donc bien |u|=13=b, et |w|=5=a. Pour z un nombre complexe tel que z=x+iy, on a alors

wz = (3x-4y)+i(4x+3y) = 12 + 5i = u,

Donc, on obtient... x=56/25, et y=-33/25... C'est facile?!

Ou peut-être ne fallait-il pas que je résolve le problème...

En tous cas, comme le genre de système :

possède toujours une solution, donc l'application est surjective...?

Merci pour vos précisions!

Cordialement

[Seirios]

Pourquoi te ramènes-tu systématiquement à identifier les parties réelle et complexe ? De manière générale, quelle est la solution de l'équation wz=u (l'inconnue étant z) ?

[The_Anonymous]

Mhh...

Donc, soit . Il existe toujours tel que , qui n'est autre que .

C'est cela?

Merci encore

Ce qui correspond car [tex] (12+5i)/(3+4i) = (12+5i)(3-4i)/25 = (36+20)/25 + (15-48)i/25

[The_Anonymous]

Désolé pour le double-post :

Ce qui correspond car

[PlaneteF]

Donc, soit . Il existe toujours tel que , qui n'est autre que .

Attention, manifestement tu n'as pas lu mon post #5 ou #6 : L'ensemble de départ de l'application donnée par l'énoncé n'est pas C mais l'ensemble des complexes de module b/a.

Donc pour être parfaitement rigoureux, même si c'est évident, il faut vérifier que la solution trouvée appartienne bien à l'ensemble de départ de l'application, càd vérifier que u/w a bien un module = b/a (vérification qui prend 2 secondes mais qu'il faut faire).

[The_Anonymous]

Oui, tout à fait! Je m'en suis rendu compte en rédigeant sur ma copie que l'ensemble C était trop grand pour les z.

Après pour la vérification, comme |u|=b et |w|=a, comme z=u/w, |z| = |u/w| = |u| / |w| = b/a (et on peut car a est différent de zéro )

Merci pour la précision

(Et désolé de n'avoir pas pris en compte plus tôt).