Un peu de logique

[MAROMED]

est merci pour votre attention
Cordialement .
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[Seirios]

Bonjour,

On a pas . Pour s'en convaincre, il suffit de calculer . Sinon, dans le deuxième raisonnement, il serait bon de préciser que est non nul.

[ansset]

c'est un piege bien connu
confondre implication et equivalence dans la résolution d'équation.

[ansset]

ça me fait penser à une pseudo énigme.

x²+x+1=0 avec x app à R. ( équation sans solution réelle )
soit
x(x+1)=-1
or
x+1=-x² donc
x(-x²)=-1 soit
x^3=1 donc x=1 ce qui est faux bien entendu.
car x^3=1 n'est pas équivalent à l'équation initiale.
ce n'est qu'une implication qui a des solutions dans C mais pas dans R

[A voir en vidéo sur Futura]

[MAROMED]

Donc pour que la premier demonstration soit vraie je doit mettre x appartient a R+? et pour la 2eme demst j'ai oublie de mettre R*+ et merci pour votre aide

[ansset]

non, pour la première on obtient !x! >= 1.

[PlaneteF]

Bonjour,

Donc pour que la premier demonstration soit vraie je doit mettre x appartient a R+?

Tu "peux", mais tu ne "dois" pas !

[PlaneteF]

c'est un piege bien connu
confondre implication et equivalence dans la résolution d'équation.

Bonjour ansset,

C'est vrai que cette confusion est très répandue et même quand on a l'habitude de résoudre des équations il faut toujours rester vigilant sur ce point (ton exemple donné après est très instructif), ... mais en l'occurrence, étant donné que l'implication dans le sens est fausse ici (et donc on est pas exactement dans la config que tu décris, à savoir "implication juste, réciproque fausse"), il me semble qu'ici l'erreur commise serait plutôt celle-ci :

On a parfaitement le droit de considérer que si est croissante, ... le problème ici c'est que la fonction carré n'est pas croissante sur .

Cdt

[ansset]

exact, j'ai "extrapolé" !
merci pour la précision.

[invite76543456789]

Bonjour,

ça me fait penser à une pseudo énigme.

x²+x+1=0 avec x app à R. ( équation sans solution réelle )
soit
x(x+1)=-1
or
x+1=-x² donc
x(-x²)=-1 soit
x^3=1 donc x=1 ce qui est faux bien entendu.
car x^3=1 n'est pas équivalent à l'équation initiale.
ce n'est qu'une implication qui a des solutions dans C mais pas dans R

J'ai bien aimé cet exemple, sous son apparente simplicité, il cache en fait des questions profondes, "quand est ce que nous pouvons considerer que deux equations sont la meme équation?".

[ansset]

il n'y a rien de mystérieux.
en fait la manip revient à multiplier l'équation par ( x-1) ( mais sans que ce soit clairement visible )
soit
x²+x+1=0 => (x-1)*(x²+x+1)=0 ( vu comme ça, on voit bien que ce n'est qu'une implication )
soit
x^3 +x²+x =0 avec x²+x = -1
d'ou x^3=1 ( car x²+x =-1 )
mais ceci SI x est diff de 1.
d'ailleurs les autres solutions complexes de x^3=1 satisfont bien x²+x+1 =0

[invite76543456789]

Non, mais c'est pas cela que je voulais dire, ce que je voulais dire, c'est que cela soulevait la question de se demander "quand est qu'on peut dire raisonnablement que deux equations sont la meme?" et que c'est une question qui est profonde parce que finalement sa réponse nous amène tres loin (et meme dans certains cas sur des questions ouvertes).
Edit: je sais pas pourquoi j'avais pas vu que vous aviez repondu, d'où le fait que j'ai mis si longtemps a repondre.

[ansset]

Non, mais c'est pas cela que je voulais dire, ce que je voulais dire, c'est que cela soulevait la question de se demander "quand est qu'on peut dire raisonnablement que deux equations sont la meme?" et que c'est une question qui est profonde parce que finalement sa réponse nous amène tres loin (et meme dans certains cas sur des questions ouvertes).
Edit: je sais pas pourquoi j'avais pas vu que vous aviez repondu, d'où le fait que j'ai mis si longtemps a repondre.

je comprend mieux.
il doit exister une manière formelle d'ecrire ça proprement, mais celà dépasse mes connaissances en logique mathématique.

[eudea-panjclinne]

quand est qu'on peut dire raisonnablement que deux equations sont la meme?

le mot même n'a pas de sens mathématique.
Soit A un ensemble, P, Q deux fonctions réelles de variable réelle.
les deux équations:
Pour tout x dans A, P(x)=0 [1]
Pour tout x dans A, Q(x)=0 [2]
Pourront être dites équivalentes si elles ont même ensemble de solutions dans A.

[ansset]

bon, "même" et "équivalent", ou est le pb ?

mais votre réponse est une sorte de pirouette, car tautologique.
ce n'est pas le sens de la question de MissPacMan.

[eudea-panjclinne]

bon, "même" et "équivalent", ou est le pb ?

Allez, je veux bien en convenir.

mais votre réponse est une sorte de pirouette, car tautologique.

Que voulez-vous dire ?
Ma définition est opérante :
pour x dans IR-, x+1=2
pour x dans IR+, x+2=1
sont deux équations équivalentes.

ce n'est pas le sens de la question de MissPacMan.

Quel est-il donc, il me semble que c'est très flou ?

[ansset]

re-bonjour,
j'ai dit tautologique parceque tu fais référence au point d'arrivée : le resultat.
et donc dire : c'est équivalent si le resultat est le même suppose de connaitre le(s) resultat(s).
mais pas d'approcher la question suivante :
P(x)=0 et Q(x)=0 sont elle équivalente ( ne connaissant pas le résultat ).

[invite76543456789]

Justement, ma question est flou parce qu'elle est profonde (mais c'est une question rethorique un peu, j'en connais une partie de la réponse).
Et le point de vue consistant a dire que deux equations sont equivalentes si leur solutions sont les memes n'est pas vraiment satisfaisant.
Les équations x²=-1 et x^4+x^2+1=0 ont les memes solutions dans R, pourtant on a vraiment pas envie de les considerer comme la "meme" équation. Elles n'ont clairement pas la "meme tete".

D'autre part, dans C elles n'ont pas les memes solutions, du coup on pourrait se dire que deux equations (a plusieurs variables) sont equivalentes si elles ont le meme set de solution dans C (ou un corps alg clos).

Mais meme ca c'est pas vraiment satifaisant. Les équations x=0 et x²=0 auront certainement le meme set de solution dans n'importe quel corps, R ou C ou n'importe quoi, pourtant la encore on a pas envie de considerer que ce sont les memes equation, par exemple, parce que l'equation x²=0 est une specialisation de l'équation x²=a et que celle ci a deux solutions et qu'on a envie d'une certaine manière que le nombre de solution depende continuement de a, alors que pour x=0, l'equation est une specialisation de x=a.

Une partie de la solution est de dire que deux equations sont equivalentes le sont si elles ont meme solution dans tout anneau (qui soit une algèbre sur la Z-algèbre engendré par les coeff de l'equation, au minimum). Et ca ca amène a des choses profondes (entre autre au lemme de Yoneda).On peut trouver (facilement) un anneau dans lequel x²=0 et x=0 n'ont pas les memes solutions.

Il est aussi tres fructueux de regarder ces choses là sous l'angle geométrique, puisque les equations polynomiales definissent des "ensembles de points", cela enrichit considrablement le cadre géométrique (et ce genre de question amène à la géométrie algébrique).

[eudea-panjclinne]

P(x)=0 et Q(x)=0 sont elle équivalente ( ne connaissant pas le résultat ).

Que sens précis donner alors, dans le cas général, au mot équivalent ?

MissPacMan

Et le point de vue consistant a dire que deux equations sont equivalentes si leur solutions sont les memes n'est pas vraiment satisfaisant.

Je vous crois sur parole, mais vous dites après :

Une partie de la solution est de dire que deux équations sont equivalentes le sont si elles ont meme solution dans tout anneau (qui soit une algèbre sur la Z-algèbre engendré par les coeff de l'equation, au minimum)

La définition d'équations équivalentes me parait clair, mais je m'étonne que vous reveniez à l'examen des solutions que vous avez trouvées non satisfaisant plus haut.
Certes, c'est une partie de la solution, alors qu'elle est l'autre ?

[invite76543456789]

Dire que deux equations sont equivalentes pare qu'elles sont les memes solutions dans C n'est pas satisfaisant, une première manière de shunter ca c'est de regarder la collection des solutions de l'équation dans tous les anneaux possible, ca c'est ce que je dis dans mes messages (et c'est deja je trouve interessant). Mais en fait meme ca n'est qu'une partie de la solution parce que c'est vraiment l'association A->solution de l'equation dans A qui determine l'equation, c'est une collections d'ensemble, structurée (si vous avez une solution de l'equation dans A et dans B avec B qui soit une A-algèbre alors vous avez une applcation naturelle de l'ensemble des solution dans A dans l'ensemble des solutions dans B, qui structure l'ensemble, vous avez une collections d'ensembles et des applications les reliant).

[eudea-panjclinne]

Merci beaucoup pour ces explications. Je suppose que tout ceci est en liaison avec la théorie des catégories.

[invite76543456789]

C'est plus en lien avec la geométrie algébrique, mais la théorie des categories a tellement été developpé pour et par la geométrie algébrique (et par des geométres algébristes souvents) que le lien est ténu.
Effectivement il y a derrière mon laius la notion de Foncteur des points (une notion catgéorique), qui est une notion qui est issue de la géométrie algébrique, où justement le notion de point ne suffisant plus a determiner les objets geométriques en questions (par exemple certains objets n'avaient aucun points mais n'etaient pas les memes, comme par exemple les zeros de x²+1 ou de x^4+x²+1 dans R), on s'est apercu que finalement le foncteur des points dans sa globalité determinait les objets quand meme.
Ouf donc!
Je pourrais vous en dire plus si cela vous interesse (enfin dans la limite de ce que je connais, je n'ai jamais efleuré que la surface de la geométrie algébrique, c'est veritablement horriblement difficile).