Suite avec factorielle

[eleve800]

Bonjour à tous ! J'ai des exercices à faire pour la rentrée et je bloque sur l'un d'eux contenant une suite avec factorielle ! ( Je passe en maths sup mais en terminale on n'a pas trop travaillé les factorielles, d'où ma difficulté à les manipuler !)
Voici l'énoncé:

Soit Un=(4^n(n!)²) /(2n+1)! ( désolé comme ça c'est moche mais je ne trouve pas les symboles mathématiques :/)

1)Exprimer Un+1 puis simplifier le quotient Un+1/Un
2) simplifier l'ecart relatif | Un+1-Un/Un |

Pour la 1) je trouve (4^n+1 *((n+1)!)² )/(2n+2) . J'ai pensé à transformer (n+1)! en n!*(n+1) mais après je ne vois pas comment faire ..
Si vous pouviez me donner un petit coup de main ce serait vraiment très gentil, merci
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[Samuel9-14]

Ta réponse me semble correcte. Ensuite pas de difficulté pour simplifier le quotient.
Tu as (a/b)/(c/d), tu le simplifies en (a/b)*(d/c). Tu peux ensuite simplifier 4ⁿ⁺¹/4ⁿ et tu peux aussi simplifier ((n+1)!)²/(n!)² (en utilisant ce que tu proposais d'ailleurs !)

J'esprèe que je t'ai aidé, j'ai pas l'impression d'avoir été très clair...

[eleve800]

merci Je le fais sur papier et je te renvoie ce que je trouve

[eleve800]

je trouve Un+1/Un= (4(n+1)²(2n+1)! )/(2n+2)!
est-ce juste? ^^ J'ai vraiment du mal à me familiariser avec les factorielles, je ne sais pas s'il y a des règles de calculs spécifiques ou autre ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Samuel9-14]

Jusque là je suis d'accord avec toi !
J4avais pas vu qu'on avait (2n+1)! en revanche. Ca change pas grand chose pour le moment de toutes façons

Tu pourrais aussi factoriser par deux le dénominateur, et ainsi continuer de simplifier ce quotient...

[Blead]

Bonjour

Soit Un=(4^n(n!)²) /(2n+1)!

U_n+1 = ( 4ⁿ⁺¹(n+1)!² ) / ( 2n+3 )! si tes parenthèses sont correctes, car 2(n+1)+1 = 2n+3

Pour simplifier des factorielles n'hésites pas à commencer l'écriture "produit" i.e. n! = n(n-1)(n-2)....2

Cdt

[eleve800]

ah oui merci beaucoup !! erreur de calcul stupide qui fausse tout l'exercice , il faut que je fasse plus attention !
Je vais ré-essayer !

[Samuel9-14]

Oups, j'ai fait la faute aussi, mon message #5 est donc faux...

[Blead]

Donc si vous voulez j'ai trouvé :

U_n+1 / U_n = 4.(n+1)² / (2n+3) à vous de voir si vous trouvez la même chose.

[eleve800]

je trouve Un+1/Un= 4(n+1)²(2n+1)! / (2n+3)..

[Blead]

Tu dois avoir (2n+3)! au dénominateur, non?

[eleve800]

oui pardon !! donc si je décompose (2n+3)! ça me donne : 5*7*9*...*(2(n-1)+3)*(2n+3)? et (2n+1)!=3*5*7...*(2(n-1)+1)*(2n+1)?

[Blead]

Oui, mais ce qui est plus intéressant c'est : (2n+3)! = (2n+3)(2n +1)!

[Samuel9-14]

Pourtant Blead, pour n=1, on a (2n+3)=5, non ? Et (2n+1)=3 ?
Moi en fait je récupère un 3 au numérateur...

[PlaneteF]

Bonjour,

(2n+3)! = (2n+3)(2n +1)!

Il y a une petite coquille !

Cordialement

[eleve800]

je pensais que (2n+3)!=(2n+3)(2n+2)! ?

[Blead]

Sorry : (2n+3)! = (2n+3)(2n+2)(2n+1)!

Il ne faut pas se tromper pour la simplification.

[eleve800]

Blead comment trouves-tu cela, ? Je cherche mais je ne vois pas comment passer de (2n+3)! à ton résultat .. Au final Un+1/Un serait donc égal à : ( 4(n+1)² )/((2n+2)(2n+3)) ?

[ansset]

Oui, mais ce qui est plus intéressant c'est : (2n+3)! = (2n+3)(2n +1)!

pas vraiment :
(2n+3)!=(2n+3)*(2n+2)*(2n+1)!

[eleve800]

ça y'est je vois !! en fait on utilise la formule (n+1)!=n!*(n+1) et on l'applique à (2n+3)! . Le résultat final que j'ai trouvé est donc le bon? (#18)

[ansset]

oui, maintenant regarde ce que donne U(n+1)/U(n) - 1 .

[eleve800]

oui, maintenant regarde ce que donne U(n+1)/U(n) - 1 .

(-2(n+1))/(2n+2)(2n+3) ?

[ansset]

oui, celà se simplifie encore
que vaut 2n+2 ?

[Samuel9-14]

EDIT : à suppr.

[eleve800]

oui, celà se simplifie encore
que vaut 2n+2 ?

2n+2=2(n+1) donc le (n+1) s'en va en haut et en bas d'où le résultat egal à : -2/2(2n+3) = -1/2n+3 ?

[ansset]

oui, je suis d'accord.
juste un détail , dans l'énoncé on demande la valeur absolue de la différence si j'ai bien lu.
( interprétation de ce que tu as ecrit )

[eleve800]

oui, je suis d'accord.
juste un détail , dans l'énoncé on demande la valeur absolue de la différence si j'ai bien lu.

ils demandent la valeur absolue de (Un+1 -Un)/Un

[eleve800]

ce qui revient au même que (Un+1/Un)-1 C'est une bonne astuce ça merci bcp !! donc du coup le résultat est |-1/2n+3|?

[ansset]

ben oui, donc le - s'envole !

et qu'en conclus-tu sur la nature de ta suite ?

[eleve800]

ben oui, donc le - s'envole !

et qu'en conclus-tu sur la nature de ta suite ?

J'avoue j'ai un peu oublié tout ça.. avant on faisait Un+1/Un pour trouver la raison d'une suite géometrique.. J'ai rarement utilisé l'écart relatif :/