devoir maison sur les suites numeriques

[mangastar94]

Bonsoir j'ai un DM sur les suites numériques à rendre pour le 17 septembre et votre aide serait la bienvenue!
Exercice 1
Soit (Un) définie pour tout entier naturel n par:
U0= -1 et Un+1= 1/2Un -2
1. a) A l'aide de la calculatrice,calculer les 10 premiers termes de la suite.
b) Emettre une conjecture sur le sens des variations de (Un) et sur la majoration de (Un).
2. Montrer par récurrence que (Un) est minorée par -4
3. a) Etudier le signe de Un+1-Un
b) En déduire le sens de variation de la suite (Un).

Je viens de faire l'exercice 1 en entier
Voilà:
1. a) Comme je le disais j'ai fait un tableau des valeurs de n en fonction de (Un),dans lequel j'ai mis les valeurs de U0 àU9. Mais je dois mettre les nombres décimaux en entier du type -3.906 ou je les mets en fraction?

b)La suite (Un) semble toujours décroissante et semble minorée par -4.

2. Initialisation: On veut prouver que pour tout n superieur ou egal à 0, (Un) est superieur ou égal à -4.
Pour n=0 U0=-1 donc -1 superieur à -4.
Donc on a bien U0 superieur à -4.
Hérédité: On suppose que Uk superieur ou egal à -4.
Montrons qu'alors Uk+1 superieur ou egal à -4.
On a d'après la définition Uk+1= 1/2Uk-2
Donc 1/2Uk superieur ou égal à -4.
Donc 1/2Uk-2 superieur ou égal à -6.
Donc Uk+1 superieur ou egal à -4.
Donc la propriété est héréditaire.
Conclusion: Pour tout n superieur ou egal à 0,Un est supérieur ou égal à -4. Donc -4 est un minorant de la suite (Un).

3. a)Pour tout n supérieur ou égal à 0,Un+1-Un= 1/2Un-2-Un=1/2Un-2.
Or Un superieur ou egal à -4.
Donc -1/2Un inferieur ou egal à 2
Donc -1/2Un-2 inferieur ou egal à 0.
Donc Un+1-Un inferieur ou egal à 0.
Donc (Un) est décroissante.

b) La suite (Un) est strictement décroissante sur [0;+8[
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[PlaneteF]

Bonsoir,

b)La suite (Un) semble toujours décroissante et semble minorée par -4.

L'énoncé te demande de conjecturer sur la majoration de , par sur la minoration.

On a d'après la définition Uk+1= 1/2Uk-2
Donc 1/2Uk superieur ou égal à -4.

Et comment passes-tu d'une ligne à l'autre

De toute manière d'après l'hypothèse de récurrence , donc je ne vois pas trop comment à partir de là tu peux arriver à

Donc 1/2Uk-2 superieur ou égal à -6.
Donc Uk+1 superieur ou egal à -4.

Là encore par quelle magie passes-tu d'une ligne à l'autre

Tu fais 2 erreurs et tu retombes sur tes pieds, ... bien tenté

3. a)Pour tout n supérieur ou égal à 0,Un+1-Un= 1/2Un-2-Un=1/2Un-2.

Il manque un signe "moins".

b) La suite (Un) est strictement décroissante sur [0;+8[

Cette phrase ne veut rien dire, une suite est une application définie sur .

[mangastar94]

Bonsoir,



L'énoncé te demande de conjecturer sur la majoration de , par sur la minoration.


Donc je mets la suite (Un) semble majorée par -1.

Et comment passes-tu d'une ligne à l'autre

De toute manière d'après l'hypothèse de récurrence , donc je ne vois pas trop comment à partir de là tu peux arriver à

J'ai brûlé une étape,j'aurais du mettre?: On a d'après la définition Uk+1= 1/2Uk -2
Donc Uk superieur ou egal à -4
Donc 1/2Uk superieur ou egal à -2
Donc 1/2Uk-2 superieur ou egal à -4
Donc Uk+1 superieur ou egal à -4.


Là encore par quelle magie passes-tu d'une ligne à l'autre

Tu fais 2 erreurs et tu retombes sur tes pieds, ... bien tenté




Il manque un signe "moins".

J'ai fait une faute de frappe.


Cette phrase ne veut rien dire, une suite est une application définie sur .

Je devrais dire quoi?

[PlaneteF]

Je devrais dire quoi?

Ben tout simplement que la suite est strictement décroissante (le "sur " est de trop car n'a pas de sens ici).

Cdt

[A voir en vidéo sur Futura]

[mangastar94]

D'accord sinon tout est bon cet exercice? Et je mettrai en ligne l'exercice 2 demain.

[PlaneteF]

D'accord sinon tout est bon cet exercice?

Ben sinon, comme je te l'ai indiqué ton raisonnement par récurrence du 2) est faux ; il faut le refaire.

Cdt

[mangastar94]

Je l'ai refait c'est dans la citation en gris plus haut

[PlaneteF]

Je l'ai refait c'est dans la citation en gris plus haut

Ouaaah, purée, t'as fichu un de ces bazars dans ma citation d'origine ... fopa procéder comme cela !

Bref, ... juste une petite remarque dans la rédaction de ton raisonnement, évite de commencer en disant "Donc U_k >= -4". Ce n'est pas une conséquence de quoi que ce soit, c'est une hypothèse (de récurrence).

Il est préférable de commencer avec quelque chose du genre : "Par hypothèse de récurrence on a : U_k >= -4, ...", et après tu peux enchaîner avec un "donc ...".

[mangastar94]

D'accord merci pour le conseil!

[mangastar94]

Alors l'énoncé de l'exercice 2: On considère que la suite (Un) définie pour tout n de N par:
U0=3 et Un+1= (4Un-2)/(Un+1)
1. Soit f la fonction définie sur [1;+8[ par f(x)= (4x-2)/(x+1)
a) Etudier les variations de f sur [1;+8[
b) En déduire que pour tout x de [1;+8[, f(x) superieur ou egal à 1.
2. D"montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, Un superieur ou egal à 1.
3. Démontrer par récurrence que la suite (Un) est décroissante.

Voilà ce que j'ai fait:
1. a) Etude de f
On étudie le signe de f'(x) pour obtenir le sens de variation de f.
f est dérivable sur [1;+8[ pour tout x de [1;+8[ ,
f'(x) = 4x-2/x+1
f'(x) = 4(x+1)-1(4x-2)/(x+1)²
f'(x) = 4x+4-4x+2/(x+1)²
f'(x) = 6/(x+1)²
(x+1)² est toujours positif donc le signe de f'(x) est le même signe que celui de 6.
(x+1)² = x²+2x+1
delta= 4-4*1*1 = 0
-b/2a = -1
S= {-1}
Ensuite j'ai fait un tableau de signe du trinôme dans lequel j'ai mis les signes de a.
Puis j'ai fait un tableau de variation.

b) Pour tout x € [1;+8[ ,on a f(x) superieur ou égal à 1 donc f(x) € [1;+8[

2. Initialisation: On veut prouver que pour tout n superieur ou egal à 0, Un superieur ou egal à 1.
Pour n=0 U0= 3 3>1.
Donc U0 superieur ou egal à 1. Donc la propriété est vraie au rang initial.
Hérédité: On suppose que Uk superieur ou egal à 1.
Montrons qu'alors Uk+1 superieur ou egal à 1.
On a d'après la définition Uk+1 = 4Uk-2/Uk+1
On sait que Uk superieur ou égal à 1
Après je bloque...

[PlaneteF]

Bonsoir,

(x+1)² = x²+2x+1
delta= 4-4*1*1 = 0
-b/2a = -1
S= {-1}
Ensuite j'ai fait un tableau de signe du trinôme dans lequel j'ai mis les signes de a.

Cuisine doublement inutile :

1) Inutile parce que tu l'as dit toi-même, je te cite "f' est du même signe que celui de 6", donc f'(x) est strictement positive et la fonction est strictement croissante sur l'intervalle considéré.

2) Sinon prend une bonne respiration, bois un verre d'eau, détend toi les muscles, fais trois fois le tour du pâté de maison et reviens ... dis moi, sérieusement, il n'y a quand même pas besoin de développer et de calculer un discriminant pour trouver que l'unique racine (double ici) de (x+1)² est -1

b) Pour tout x € [1;+8[ ,on a f(x) superieur ou égal à 1 (...)

Il faut le justifier, et autrement qu'en disant "Ca se voit sur le tableau de variation".

Utilise tout simplement le fait que f est croissante.

2. Initialisation: On veut prouver que pour tout n superieur ou egal à 0, Un superieur ou egal à 1.
Pour n=0 U0= 3 3>1.
Donc U0 superieur ou egal à 1. Donc la propriété est vraie au rang initial.
Hérédité: On suppose que Uk superieur ou egal à 1.
Montrons qu'alors Uk+1 superieur ou egal à 1.
On a d'après la définition Uk+1 = 4Uk-2/Uk+1
On sait que Uk superieur ou égal à 1
Après je bloque...

Utilise les questions précédentes et notamment la fonction f.


Cdt

[PlaneteF]

[1;+8[

Sinon, petite remarque, çà fait la 2e fois que je me fais "avoir" avec ton "+8" pour

Si tu ne sais/veux pas utiliser Latex, tu peux tout simplement écrire [1 ; +inf [ ou encore [1 ; +oo [

Cordialement

[mangastar94]

Il faut le justifier, et autrement qu'en disant "Ca se voit sur le tableau de variation".

Utilise tout simplement le fait que f est croissante.

Je dois juste dire: Pour tout x € à [1; + inf[ ,on a f(x) superieur ou egal à 1 donc la fonction f est croissante.

2) Sinon prend une bonne respiration, bois un verre d'eau, détend toi les muscles, fais trois fois le tour du pâté de maison et reviens ... dis moi, sérieusement, il n'y a quand même pas besoin de développer et de calculer un discriminant pour trouver que l'unique racine (double ici) de (x+1)2 est -1

De quelle autre manière plus simple je peux démontrer l'unique racine?

Utilise les questions précédentes et notamment la fonction f.

Je n'y arrive toujours pas.

[PlaneteF]

Je dois juste dire: Pour tout x € à [1; + inf[ ,on a f(x) superieur ou egal à 1 donc la fonction f est croissante.

Pas du tout, tu mélanges ce qu'il faut montrer avec ce qui l'a déjà été : croissante n'est pas à démontrer dans la question puisque cela a déjà été fait dans la .

A l'inverse tu ne peux pas dire, je te cite, "on a f(x) superieur ou egal à 1", puisque c'est ce qu'il faut justement démontrer !

Il faut utiliser le fait que la fonction est croissante, ce qui se traduit par : Si alors

De quelle autre manière plus simple je peux démontrer l'unique racine?

Si l'on te donne à résoudre l'équation suivante :

,

Rassure moi tu ne vas quand même pas développer le 1er membre, ce qui va te prendre 1/4 d'heure, pour au finish te palucher une équation du 6e degré que tu ne sauras pas résoudre !!

Bien évidemment que non ! ... On a immédiatement :

On apprend plus ce genre de chose au Lycée

Je n'y arrive toujours pas.

Ton hypothèse de récurrence est :

Remarque importante ici : cela veut dire que et donc est bien définie !

Maintenant utilise la croissance de et c'est terminé, il y a zéro calcul !!