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devoir maison sur les suites numeriques



  1. #1
    mangastar94

    devoir maison sur les suites numeriques

    Bonsoir j'ai un DM sur les suites numériques à rendre pour le 17 septembre et votre aide serait la bienvenue!
    Exercice 1
    Soit (Un) définie pour tout entier naturel n par:
    U0= -1 et Un+1= 1/2Un -2
    1. a) A l'aide de la calculatrice,calculer les 10 premiers termes de la suite.
    b) Emettre une conjecture sur le sens des variations de (Un) et sur la majoration de (Un).
    2. Montrer par récurrence que (Un) est minorée par -4
    3. a) Etudier le signe de Un+1-Un
    b) En déduire le sens de variation de la suite (Un).

    Je viens de faire l'exercice 1 en entier
    Voilà:
    1. a) Comme je le disais j'ai fait un tableau des valeurs de n en fonction de (Un),dans lequel j'ai mis les valeurs de U0 àU9. Mais je dois mettre les nombres décimaux en entier du type -3.906 ou je les mets en fraction?

    b)La suite (Un) semble toujours décroissante et semble minorée par -4.

    2. Initialisation: On veut prouver que pour tout n superieur ou egal à 0, (Un) est superieur ou égal à -4.
    Pour n=0 U0=-1 donc -1 superieur à -4.
    Donc on a bien U0 superieur à -4.
    Hérédité: On suppose que Uk superieur ou egal à -4.
    Montrons qu'alors Uk+1 superieur ou egal à -4.
    On a d'après la définition Uk+1= 1/2Uk-2
    Donc 1/2Uk superieur ou égal à -4.
    Donc 1/2Uk-2 superieur ou égal à -6.
    Donc Uk+1 superieur ou egal à -4.
    Donc la propriété est héréditaire.
    Conclusion: Pour tout n superieur ou egal à 0,Un est supérieur ou égal à -4. Donc -4 est un minorant de la suite (Un).

    3. a)Pour tout n supérieur ou égal à 0,Un+1-Un= 1/2Un-2-Un=1/2Un-2.
    Or Un superieur ou egal à -4.
    Donc -1/2Un inferieur ou egal à 2
    Donc -1/2Un-2 inferieur ou egal à 0.
    Donc Un+1-Un inferieur ou egal à 0.
    Donc (Un) est décroissante.

    b) La suite (Un) est strictement décroissante sur [0;+8[

    -----


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  3. #2
    PlaneteF

    Re : devoir maison sur les suites numeriques

    Bonsoir,

    Citation Envoyé par mangastar94 Voir le message
    b)La suite (Un) semble toujours décroissante et semble minorée par -4.
    L'énoncé te demande de conjecturer sur la majoration de , par sur la minoration.


    Citation Envoyé par mangastar94 Voir le message
    On a d'après la définition Uk+1= 1/2Uk-2
    Donc 1/2Uk superieur ou égal à -4.
    Et comment passes-tu d'une ligne à l'autre

    De toute manière d'après l'hypothèse de récurrence , donc je ne vois pas trop comment à partir de là tu peux arriver à


    Citation Envoyé par mangastar94 Voir le message
    Donc 1/2Uk-2 superieur ou égal à -6.
    Donc Uk+1 superieur ou egal à -4.
    Là encore par quelle magie passes-tu d'une ligne à l'autre

    Tu fais 2 erreurs et tu retombes sur tes pieds, ... bien tenté


    Citation Envoyé par mangastar94 Voir le message
    3. a)Pour tout n supérieur ou égal à 0,Un+1-Un= 1/2Un-2-Un=1/2Un-2.
    Il manque un signe "moins".


    Citation Envoyé par mangastar94 Voir le message
    b) La suite (Un) est strictement décroissante sur [0;+8[
    Cette phrase ne veut rien dire, une suite est une application définie sur .
    Dernière modification par PlaneteF ; 12/09/2013 à 23h03.

  4. #3
    mangastar94

    Re : devoir maison sur les suites numeriques

    Citation Envoyé par PlaneteF Voir le message
    Bonsoir,



    L'énoncé te demande de conjecturer sur la majoration de , par sur la minoration.


    Donc je mets la suite (Un) semble majorée par -1.

    Et comment passes-tu d'une ligne à l'autre

    De toute manière d'après l'hypothèse de récurrence , donc je ne vois pas trop comment à partir de là tu peux arriver à

    J'ai brûlé une étape,j'aurais du mettre?: On a d'après la définition Uk+1= 1/2Uk -2
    Donc Uk superieur ou egal à -4
    Donc 1/2Uk superieur ou egal à -2
    Donc 1/2Uk-2 superieur ou egal à -4
    Donc Uk+1 superieur ou egal à -4.


    Là encore par quelle magie passes-tu d'une ligne à l'autre

    Tu fais 2 erreurs et tu retombes sur tes pieds, ... bien tenté




    Il manque un signe "moins".

    J'ai fait une faute de frappe.


    Cette phrase ne veut rien dire, une suite est une application définie sur .
    Je devrais dire quoi?

  5. #4
    PlaneteF

    Re : devoir maison sur les suites numeriques

    Citation Envoyé par mangastar94 Voir le message
    Je devrais dire quoi?
    Ben tout simplement que la suite est strictement décroissante (le "sur " est de trop car n'a pas de sens ici).

    Cdt
    Dernière modification par PlaneteF ; 12/09/2013 à 23h52.

  6. #5
    mangastar94

    Re : devoir maison sur les suites numeriques

    D'accord sinon tout est bon cet exercice? Et je mettrai en ligne l'exercice 2 demain.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    PlaneteF

    Re : devoir maison sur les suites numeriques

    Citation Envoyé par mangastar94 Voir le message
    D'accord sinon tout est bon cet exercice?
    Ben sinon, comme je te l'ai indiqué ton raisonnement par récurrence du 2) est faux ; il faut le refaire.

    Cdt

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  10. #7
    mangastar94

    Re : devoir maison sur les suites numeriques

    Je l'ai refait c'est dans la citation en gris plus haut

  11. #8
    PlaneteF

    Re : devoir maison sur les suites numeriques

    Citation Envoyé par mangastar94 Voir le message
    Je l'ai refait c'est dans la citation en gris plus haut
    Ouaaah, purée, t'as fichu un de ces bazars dans ma citation d'origine ... fopa procéder comme cela !

    Bref, ... juste une petite remarque dans la rédaction de ton raisonnement, évite de commencer en disant "Donc Uk >= -4". Ce n'est pas une conséquence de quoi que ce soit, c'est une hypothèse (de récurrence).

    Il est préférable de commencer avec quelque chose du genre : "Par hypothèse de récurrence on a : Uk >= -4, ...", et après tu peux enchaîner avec un "donc ...".
    Dernière modification par PlaneteF ; 13/09/2013 à 06h21.

  12. #9
    mangastar94

    Re : devoir maison sur les suites numeriques

    D'accord merci pour le conseil!

  13. #10
    mangastar94

    Re : devoir maison sur les suites numeriques

    Alors l'énoncé de l'exercice 2: On considère que la suite (Un) définie pour tout n de N par:
    U0=3 et Un+1= (4Un-2)/(Un+1)
    1. Soit f la fonction définie sur [1;+8[ par f(x)= (4x-2)/(x+1)
    a) Etudier les variations de f sur [1;+8[
    b) En déduire que pour tout x de [1;+8[, f(x) superieur ou egal à 1.
    2. D"montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, Un superieur ou egal à 1.
    3. Démontrer par récurrence que la suite (Un) est décroissante.

    Voilà ce que j'ai fait:
    1. a) Etude de f
    On étudie le signe de f'(x) pour obtenir le sens de variation de f.
    f est dérivable sur [1;+8[ pour tout x de [1;+8[ ,
    f'(x) = 4x-2/x+1
    f'(x) = 4(x+1)-1(4x-2)/(x+1)²
    f'(x) = 4x+4-4x+2/(x+1)²
    f'(x) = 6/(x+1)²
    (x+1)² est toujours positif donc le signe de f'(x) est le même signe que celui de 6.
    (x+1)² = x²+2x+1
    delta= 4-4*1*1 = 0
    -b/2a = -1
    S= {-1}
    Ensuite j'ai fait un tableau de signe du trinôme dans lequel j'ai mis les signes de a.
    Puis j'ai fait un tableau de variation.

    b) Pour tout x € [1;+8[ ,on a f(x) superieur ou égal à 1 donc f(x) € [1;+8[

    2. Initialisation: On veut prouver que pour tout n superieur ou egal à 0, Un superieur ou egal à 1.
    Pour n=0 U0= 3 3>1.
    Donc U0 superieur ou egal à 1. Donc la propriété est vraie au rang initial.
    Hérédité: On suppose que Uk superieur ou egal à 1.
    Montrons qu'alors Uk+1 superieur ou egal à 1.
    On a d'après la définition Uk+1 = 4Uk-2/Uk+1
    On sait que Uk superieur ou égal à 1
    Après je bloque...

  14. #11
    PlaneteF

    Re : devoir maison sur les suites numeriques

    Bonsoir,

    Citation Envoyé par mangastar94 Voir le message
    (x+1)² = x²+2x+1
    delta= 4-4*1*1 = 0
    -b/2a = -1
    S= {-1}
    Ensuite j'ai fait un tableau de signe du trinôme dans lequel j'ai mis les signes de a.
    Cuisine doublement inutile :

    1) Inutile parce que tu l'as dit toi-même, je te cite "f' est du même signe que celui de 6", donc f'(x) est strictement positive et la fonction est strictement croissante sur l'intervalle considéré.

    2) Sinon prend une bonne respiration, bois un verre d'eau, détend toi les muscles, fais trois fois le tour du pâté de maison et reviens ... dis moi, sérieusement, il n'y a quand même pas besoin de développer et de calculer un discriminant pour trouver que l'unique racine (double ici) de (x+1)2 est -1


    Citation Envoyé par mangastar94 Voir le message
    b) Pour tout x € [1;+8[ ,on a f(x) superieur ou égal à 1 (...)
    Il faut le justifier, et autrement qu'en disant "Ca se voit sur le tableau de variation".

    Utilise tout simplement le fait que f est croissante.


    Citation Envoyé par mangastar94 Voir le message
    2. Initialisation: On veut prouver que pour tout n superieur ou egal à 0, Un superieur ou egal à 1.
    Pour n=0 U0= 3 3>1.
    Donc U0 superieur ou egal à 1. Donc la propriété est vraie au rang initial.
    Hérédité: On suppose que Uk superieur ou egal à 1.
    Montrons qu'alors Uk+1 superieur ou egal à 1.
    On a d'après la définition Uk+1 = 4Uk-2/Uk+1
    On sait que Uk superieur ou égal à 1
    Après je bloque...
    Utilise les questions précédentes et notamment la fonction f.


    Cdt
    Dernière modification par PlaneteF ; 13/09/2013 à 23h13.

  15. #12
    PlaneteF

    Re : devoir maison sur les suites numeriques

    Citation Envoyé par mangastar94 Voir le message
    [1;+8[
    Sinon, petite remarque, çà fait la 2e fois que je me fais "avoir" avec ton "+8" pour

    Si tu ne sais/veux pas utiliser Latex, tu peux tout simplement écrire [1 ; +inf [ ou encore [1 ; +oo [

    Cordialement
    Dernière modification par PlaneteF ; 13/09/2013 à 23h42.

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  17. #13
    mangastar94

    Re : devoir maison sur les suites numeriques

    Il faut le justifier, et autrement qu'en disant "Ca se voit sur le tableau de variation".

    Utilise tout simplement le fait que f est croissante.
    Je dois juste dire: Pour tout x € à [1; + inf[ ,on a f(x) superieur ou egal à 1 donc la fonction f est croissante.

    2) Sinon prend une bonne respiration, bois un verre d'eau, détend toi les muscles, fais trois fois le tour du pâté de maison et reviens ... dis moi, sérieusement, il n'y a quand même pas besoin de développer et de calculer un discriminant pour trouver que l'unique racine (double ici) de (x+1)2 est -1
    De quelle autre manière plus simple je peux démontrer l'unique racine?

    Utilise les questions précédentes et notamment la fonction f.
    Je n'y arrive toujours pas.

  18. #14
    PlaneteF

    Re : devoir maison sur les suites numeriques

    Citation Envoyé par mangastar94 Voir le message
    Je dois juste dire: Pour tout x € à [1; + inf[ ,on a f(x) superieur ou egal à 1 donc la fonction f est croissante.
    Pas du tout, tu mélanges ce qu'il faut montrer avec ce qui l'a déjà été : croissante n'est pas à démontrer dans la question puisque cela a déjà été fait dans la .

    A l'inverse tu ne peux pas dire, je te cite, "on a f(x) superieur ou egal à 1", puisque c'est ce qu'il faut justement démontrer !

    Il faut utiliser le fait que la fonction est croissante, ce qui se traduit par : Si alors


    Citation Envoyé par mangastar94 Voir le message
    De quelle autre manière plus simple je peux démontrer l'unique racine?
    Si l'on te donne à résoudre l'équation suivante :

    ,

    Rassure moi tu ne vas quand même pas développer le 1er membre, ce qui va te prendre 1/4 d'heure, pour au finish te palucher une équation du 6e degré que tu ne sauras pas résoudre !!

    Bien évidemment que non ! ... On a immédiatement :

    On apprend plus ce genre de chose au Lycée


    Citation Envoyé par mangastar94 Voir le message
    Je n'y arrive toujours pas.
    Ton hypothèse de récurrence est :

    Remarque importante ici : cela veut dire que et donc est bien définie !

    Maintenant utilise la croissance de et c'est terminé, il y a zéro calcul !!
    Dernière modification par PlaneteF ; 14/09/2013 à 00h42.

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