Suite récurrente terminal S

[elodie20]

Bonjour, je bloque pour un exercice,

Soit (Un)définie par U1=5/2 et U(n+1)=(5Un-4)/(2Un-1)
Démontrer que , pour tout n, un=2+(1/3^n -1)

Où j'en suis :
Soit la proposition P(n):" Un=2+(1/3^n -1)
U1=5/2 or 2+(1/3^1 -1)=2+1/2=5/2 donc P(1) est vraie

Pour tout n, si P(n) est vraie
alors, Un=2+(1/3^n -1)
donc, U(n+1)=(5*un-4)/2*un-1)=5*(2+(1/3^n-1))-4/2*(2+(1/3^n -1))-1= 5*(2(3^n -1)+1)/(3^n-1) -4/(2*(2*3^n -1)/(3^n -1)-1

Je sais que je doit trouver U(n+1)=2+1/3^(n+1)-1 ma difficulté pour cet exercice c'est les calculs
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[gondebaud]

Bonjour et bienvenue,

Juste une petite remarque, avant de répondre : vos parenthèses ne sont pas là où elles devraient être, et il y en a d'autres qui manquent.

Par exemple en écrivant 2 + (1/3^1 - 1), on obtient : 2 + (1/3 - 1) = 2 + (-2/3) = 4/3 et non 5/2
Le calcul juste à faire est en fait : 2 + 1/(3^1 - 1) Et là oui, on obtiendra 5/2.

Et il y a d'autres parenthèses qui manquent dans les calculs qui suivent ...

Donc, essayez de réécrire les calculs, cela facilitera la lecture à ceux qui souhaiteront vous aider .

Cordialement.

[elodie20]

Pour toutn si p(n) est vraie
alors, U_n=2+1/(3ⁿ-1)
donc, U_n+1=5u_n-4/(2u_n-1)=5*(2+1/(3ⁿ-1))-4/2*(2+1/(3ⁿ-1))-1

Voilà, j'espère que ce sera mieux

[gondebaud]

Re...

Hélas, non ...
Dans votre dernière ligne de calculs, il manque des parenthèses à 5Un - 4 ainsi que d'autres parenthèses au numérateur et au dénominateur dans le second membre (le calcul après le symbole '=') : C'est comme si vous écriviez que (a+b)/(c+d) était égal à a+b/c+d (ce qui est faux ).

Désolé de vous embêtez sur ces points, mais ils sont importants.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonsoir.

Le calcul fonctionne bien, si on se souvient que . On peut aussi calculer la valeur de pour comparer avec ce qu'on obtient avec .

Bon travail !

[gondebaud]

@gg0 : J'ai fait les calculs aussi : aucun soucis. Et son début de raisonnement de récurrence est correct. Ici, c'est juste une histoire de lisibilité (et de rigueur).
Le temps aussi de vérifier la suite de ses calculs : 5*(2(3^n -1)+1)/(3^n-1) -4/(2*(2*3^n -1)/(3^n -1)-1 ...

@elodie20 : Pour info, vous pouvez aussi écrire comme gg0, c'est beaucoup plus présentable bien que plus long à écrire : Latex => http://forums.futura-sciences.com/fo...e-demploi.html
Donc, à choisir entre ces deux formes.

[gondebaud]

(5*(2(3^n -1)+1)/(3^n-1) -4)/(2*(2*3^n -1)/(3^n -1)-1 ) c'est juste et c'est bien parti. En continuant le développement du numérateur et du dénominateur et en simplifiant, vous devriez vous rapprocher de la réponse attendue (en cherchant un peu pour faire intervenir 3^(n+1) à la place de 3^n, on finit par y arriver).
Bon courage.