Limites

[invite00a3a70f]

Bonjours a tous, j'espère que vous pourrez m'aider je vous remercie d'avance !

J'ai un exercice voici l'énoncé :

f est la fonction définie sur R par : f(x) = ax+b / x-3
On sait que la droite d'équation : y=4 est asymptote à la courbe f en +00 et que f'(1) = 1/2

1) Trouver les valeurs de a et b
2) Etudier les Limites de f aux bornes de son ensemble de définition
3) Dresser le tableau de variation de f

Je bloque a la question 1 car je ne trouve pas le système pour trouver a et b et ça me bloque pour tout le reste

Merci d'avance et bonne journée a tous
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[invite68e6906c]

Salut.

f'(1) = 1/2 -> t'exprimes f'(x) et t'as une équation

lim f(x) = 4 -> deux équations
x->oo

[invite00a3a70f]

D'accord merci je vais essayer de faire les équations et je te dirais ce que je trouve !

[invite00a3a70f]

Désole pour f'(1) = -1/2

Pour la première équation j'ai trouvé -3a-b/4 = -1/2
Je crois que je me suis trompé

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4bf147f6]

Bonjour,

(-3a-b)/4=-1/2 est la première équation, maintenant il s'agit d'établir la seconde équation.
Alors on aura un système de 2 équation à 2 inconnues.

[invite00a3a70f]

Donc il faut faire lim (fx) en +00 = 4 <=> (ax+b/ x-3) - 4 = 0

<=> (ax +b -4x +12) / x-3 = 0

[PlaneteF]

Donc il faut faire lim (fx) en +00 = 4 <=> (ax+b/ x-3) - 4 = 0

<=> (ax +b -4x +12) / x-3 = 0

Bonjour,

Non, pas du tout, c'est complétement faux ce que tu écris là.

Que vaut la limite de f en +oo en fonction de a et b ? Ensuite tu écris que ce résultat vaut 4.


Cordialement

[invite51d17075]

bonjour,
c'est pas très propre comme écriture , on parle de limite en +l'inf.
lim (fx) en +00 = 4 <=> lim ((ax+b)/(x-3)- 4) en +00 = 0

( ps : les parenthèses aussi permettraient de mieux lire )

grillé :

[invited3a27037]

Pour la limite, tu peux remarquer que ax+b = a(x-3) +b + 3a

[invite00a3a70f]

Désolé j'ai un peu de mal on viens tout juste de commencer le cours sur les limites donc j'ai un peu de mal
Je vois pas trop je pensais que limite de f(x) en +00 était 4
Mais on ne connais pas a et b ?

[invited3a27037]

oui, la limite de f en +OO vaut 4.
Tu dois aussi exprimer la limite en fonction de a et(ou) b ce qui te fera une nouvelle équation.

Utilise l'indication que je t'ai donnée

[invite00a3a70f]

Donc il faut faire limite de f en a ?

[invited3a27037]

non en +OO et donner le résultat en fonction de a et(ou) b, en utilisant mon indication ax+b = a(x-3) +b + 3a

[invite00a3a70f]

Donc limite de f en +00 = 4 - a(x-3) + b + 3a

[invited3a27037]

Non, il un blocage. Je vais te donner la solution.

f(x) = (ax+b)/(x-3) = (a(x-3) + b + 3a) / (x-3) = a + (b+3a)/(x-3)

Quand x -> +OO, très clairement (b+3a)/(x-3) tend vers 0 donc lim de f en +OO = a

D'autre part, on dit que la droite d'équation y=4 est asymptote en +OO, donc lim de f en +OO = 4

donc a=4

[invite00a3a70f]

Ha d'accord j'ai compris je voyais pas dans ce sens là je cherchais plus compliqué
Apres j'utilise (-3a-b)/4 =-1/2 pour trouver b
Merci beaucoup pour ton aide c'est super sympas !

[invite00a3a70f]

dernière chose dans ce que tu as écrit, il va ou le x-3 de (a(x-3))

[invited3a27037]

Le x-3 a disparu au moment de la division par x-3

Plus clairement

[PlaneteF]

La méthode "standard" qu'il faut absolument connaître dans ce type de limite (en l'infini avec une fraction de fonctions polynômes), c'est de factoriser numérateur et dénominateur par la puissance de la plus élévée. Cela permet de traiter ce type de limite quel que soit le degré des fonctions polynômes en jeu.

Ce qui donne ici :


Pour ,

Donc la limite en donne :


Cordialement

[invite00a3a70f]

D'accord merci beaucoup a vous tous ! Vous êtes géniaux !
Bonne journée