DM TS démonstration par récurrence

[invitea6f58379]

Bonjour à tous, je bloque sur une question de mon DM, j'y ai passé tout le week-end et je vois vraiment pas comment faire...

la suite Un est définine par U0=1, U1=k= (1-racine de 5 ) / 2 et Un+2= Un+1 + Un

Il faut alors démontrer par récurrence que, pour tout entier n, Un=k^n
Et après en déduire la nature de la suite (Un)

J'ai déjà mis que c'était vrai pour n=0

Ensuite: Supposons que Up=k^p pour un entier naturel p supérieur ou égal à 0 mais après... Je vois pas du tout comment faire..

Merci d'avance pour votre aide
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[PlaneteF]

Bonsoir,

2 indices :

1) Faire une récurrence double ;

2) Montrer et utiliser le fait que : 1+k=k²


Cordialement

[invitea6f58379]

Merci de votre réponse, mais je n'ai pas appris ce qu'était une récurrence double....

[PlaneteF]

Merci de votre réponse, mais je n'ai pas appris ce qu'était une récurrence double....

http://fr.wikipedia.org/wiki/Raisonnement_par_r%C3%A9curren ce#R.C3.A9currence_d.E2.80.99o rdre_2

Paragraphe : Récurrence d'ordre 2

T'as pas vu çà en cours ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonsoir.

Pour démontrer qu'une propriété P(n) est vraie pour tout n entier, par récurrence double :
* On vérifie qu'elle est vraie pour n=0 et n=1
* On démontre que : si elle est vraie pour deux entiers successifs n et n+1, elle est vraie pour les deux entiers successifs n+1 et n+2 (*)
* On conclut.

Cordialement.

(*) pour n+1, rien à faire car c'est l'hypothèse de récurrence. Donc on prouve "si elle est vraie pour deux entiers successifs n et n+1, elle est vraie pour n+2".

[invitea6f58379]

Non, on a juste fait la récurrence simple...

[invitea6f58379]

Mais je sais pas comment prouver qu'elle est vrai pour n+1 parce que la suite est définie par Un+2= Un+1 + Un..

[PlaneteF]

Mais je sais pas comment prouver qu'elle est vrai pour n+1 parce que la suite est définie par Un+2= Un+1 + Un..

1) Tu vérifies la formule à démontrer pour n=0 et n=1

2) Tu supposes que : u_n=kⁿ et u_n+1=kⁿ⁺¹

3) Tu montres que : u_n+2=kⁿ⁺²

[invitea6f58379]

Donc en fait, pour n=0 et n=1 c'est vérifiée, mais après c'est pour montrer que Un+2 est vraie que je bloque...

[PlaneteF]

Donc en fait, pour n=0 et n=1 c'est vérifiée, mais après c'est pour montrer que Un+2 est vraie que je bloque...

Tu sais par hypothèse que : u_n+2 = u_n+1 + u_n

A partir de là tu utilises les 2 hypothèses de récurrence que je t'ai donné dans mon message précédent (message#8, point #2), et c'est terminé !

[invitea6f58379]

Merci beaucoup pour votre aide! Je vais essayer de chercher alors!