Fonction Réciproque

[Pomme1995]

Bonjour,

Je dois remettre un devoir pour demain et je sèche sur l'une des questions.

Voilà, on me donne la fonction suivante: Y = tg(x))

1. Représente la fonction y = Tg (x) OK

2. Recherche sa réciproque. OK et elle vaut Y = Arctg(x)

3. Précise si cette réciproque est une fonction. Non je ne pense pas mais pourquoi ??? je pense que c'est lié au domaine de définition.

Dom (f) de Tg(x) ==> F: ]-Pi/2; Pi/2[ Bref la tangente n'existe pas quand X vaut l'une de ces deux valeurs.

Merci de me donner un coup de pouce.
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[gg0]

Bonjour.

Je ne sais pas trop quoi te dire, car le mot "réciproque" a un sens mathématique qui ne s'applique pas ici. Mais si tu n'as jamais vraiment étudié cette notion, ce que tu as fait est sain.
Arctan est bien une fonction. Mais tu pourras vérifier que s tan(arctan (x))= x dans tous les cas de valeurs de x, on n'a pas arctan(tan(x))= x dès que x est en dehors de l'intervalle .
En fait, Arctan est la réciproque de la fonction définie seulement sur l'intervalle et qui donne tan(x) pour image de x.

Cordialement.

Attention : le domaine de définition de tan est bien plus large que , il contient tous les intervalles de la forme pour tous les entiers k, positifs ou négatifs.

[Pomme1995]

Le domaine de définition de Tan(X) = R \ [-PI/2; PI/2] => Avec les intervalles on rajoute K PI pour toutes le valeurs supérieures à 360°.

J'ai dû mal à comprendre pourquoi Arctan(X) n'est la réciproque de Tan (X) que sur une partie du domaine de définition.

Tan (45°) = 1.62 => Pour X = 45 la fonction réciproque Y = Arctan (X) existe ?

Merci.

[PlaneteF]

Bonjour,

Le domaine de définition de Tan(X) = R \ [-PI/2; PI/2]

Non, le domaine de définition de la fonction tangente est celui donné par gg0 dans son dernier message.

=> Avec les intervalles on rajoute K PI pour toutes le valeurs supérieures à 360°.

J'ai dû mal à comprendre pourquoi Arctan(X) n'est la réciproque de Tan (X) que sur une partie du domaine de définition.

Parce que la notion de fonction réciproque n'existe que pour les bijections, or la fonction tangente n'est pas une bijection sur son domaine de définition tout entier (elle n'est pas injective, par exemple 0 et pi ont la même image qui est 0).

Tan (45°) = 1.62 => Pour X = 45 la fonction réciproque Y = Arctan (X) existe ?

Non, tan(45°)=1 et Arctan(1)=45°



Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

C'est pour les radians que tan(45) vaut environ 1,62.
45 Radians vaut environ 2578,31°.

Essaie tan(225°), tan(45°), tan(-135°),.. (mets bien ta calculette en degré, pour ce calcul)
et tan(1), tan(1+Pi), tan(1+2Pi), ...(remets ta calculatrice en radians pour ce calcul-ci).

Cordialement.

[Pomme1995]

Merci Planetef,

Je pensais malgré tout que le domaine de définition de Tan(x) = R sauf 90° et -90°.

En ce qui concerne l'exemple oui j'avais travaillé en radian sur ma calculette et... Tan(45°) = 1,62 et non à 1.

Merci,

[Pomme1995]

Merci Ggo,

J'aurais dû rafraîchir la page avant l'envoi.

[gg0]

Si tu étais en radians, ce n'était pas tan(45°); seulement tan(45) (l'unité conventionnelle étant le radian, on ne l'écrit pas lorsqu'il s'agit de la fonction en radians).

As-u essayé de calculer tan(270°) ? Avec la calculette en degrés, bien sûr.

[Pomme1995]

J'obtiens Tan(270°) = 5,44152E+15 et Arctan (5,44152E+15) = 90°

C'est ça ?

[PlaneteF]

Je pensais malgré tout que le domaine de définition de Tan(x) = R sauf 90° et -90°.

Dans ce que tu avais écrit (cf. citation ci-après) ...

Le domaine de définition de Tan(X) = R \ [-PI/2; PI/2]

... tu avais exclu bien plus que -90° et 90°, et tu avais aussi oublié de prendre en compte la pi-périodicité de la fonction tangente.


Cdt