Démonstration par récurrence avec factorielle
Bonjour, je n'arrive pas à faire cet exercice :
Soit x un nombre réel positif ou nul et k un entier strictement supérieur à x
1) Démontrer par récurrence sur n que, pour tout entier n supérieur ou égal à k : k^n/n! plus petit ou égal à k^k/k!
2) En déduire que, pour tout entier n supérieur ou égal à k : x^n/n! plus petit ou égal à (x/k)^n * k^k/k!
3) Démontrer que lim x^n/n! = 0 quand n tend vers +infini
Voilà.. Merci d'avance pour votre aide
Bonjour,
Où es-tu bloqué exactement ?
Cordialement
Dernière modification par PlaneteF ; 09/10/2013 à 15h38.
On a pas abordé la notion de factorielle en cours, donc je ne sais pas ce que ça signifie
Et j'ai du mal à faire les démonstrations par récurrence.. pouvez-vous m'aider à la commencer ?
Bonsoir,
La factorielle de n est:. Note: par convention
Pour ce qui est d'une démonstration par récurrence sur n, on procède schématiquement ainsi:
1. On vérifie l'hypothèse pour n = 0 (ou n = 1, si on commence à 1).
2. On suppose l'hypothèse vraie pour n-1.
3. On vérifie l'hypothèse pour n, en supposant (2).
Merci, pour l'étape 2 c'est on vérifie pour n-1 et non pas pour n+1 ?
En effet, l'hypothèse est prise comme vraie pour n-1. On la démontre alors pour n en utilisant le fait que l'hypothèse est prise comme vraie pour n-1.
Donc je peux mettre ça : On suppose que k^p-1/(p-1)! est plus petit ou égal à k^k/k! pour p supérieur à 0 ?Envoyé par Paraboloide_Hyperbolique
Si l'on appelle
La démonstration par récurrence va consister à démontrer que :
1)
2)
Cordialement
Dernière modification par PlaneteF ; 09/10/2013 à 23h39.
Je rajoute :
Ce qui permettra alors de conclure que :
(c'est bien ce que demande l'énoncé)
Dernière modification par PlaneteF ; 09/10/2013 à 23h44.
