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Démonstration par récurrence avec factorielle



  1. #1
    Capucine96

    Unhappy Démonstration par récurrence avec factorielle


    ------

    Bonjour, je n'arrive pas à faire cet exercice :

    Soit x un nombre réel positif ou nul et k un entier strictement supérieur à x

    1) Démontrer par récurrence sur n que, pour tout entier n supérieur ou égal à k : k^n/n! plus petit ou égal à k^k/k!

    2) En déduire que, pour tout entier n supérieur ou égal à k : x^n/n! plus petit ou égal à (x/k)^n * k^k/k!

    3) Démontrer que lim x^n/n! = 0 quand n tend vers +infini

    Voilà.. Merci d'avance pour votre aide

    -----

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  3. #2
    PlaneteF

    Re : Démonstration par récurrence avec factorielle

    Bonjour,

    Où es-tu bloqué exactement ?

    Cordialement
    Dernière modification par PlaneteF ; 09/10/2013 à 16h38.

  4. #3
    Capucine96

    Re : Démonstration par récurrence avec factorielle

    On a pas abordé la notion de factorielle en cours, donc je ne sais pas ce que ça signifie

  5. #4
    Capucine96

    Re : Démonstration par récurrence avec factorielle

    Et j'ai du mal à faire les démonstrations par récurrence.. pouvez-vous m'aider à la commencer ?

  6. #5
    Paraboloide_Hyperbolique

    Re : Démonstration par récurrence avec factorielle

    Bonsoir,

    La factorielle de n est: . Note: par convention

    Pour ce qui est d'une démonstration par récurrence sur n, on procède schématiquement ainsi:

    1. On vérifie l'hypothèse pour n = 0 (ou n = 1, si on commence à 1).
    2. On suppose l'hypothèse vraie pour n-1.
    3. On vérifie l'hypothèse pour n, en supposant (2).

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Capucine96

    Re : Démonstration par récurrence avec factorielle

    Merci, pour l'étape 2 c'est on vérifie pour n-1 et non pas pour n+1 ?

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  10. #7
    Paraboloide_Hyperbolique

    Re : Démonstration par récurrence avec factorielle

    En effet, l'hypothèse est prise comme vraie pour n-1. On la démontre alors pour n en utilisant le fait que l'hypothèse est prise comme vraie pour n-1.

  11. #8
    Capucine96

    Re : Démonstration par récurrence avec factorielle

    Citation Envoyé par Paraboloide_Hyperbolique Voir le message
    En effet, l'hypothèse est prise comme vraie pour n-1. On la démontre alors pour n en utilisant le fait que l'hypothèse est prise comme vraie pour n-1.
    Donc je peux mettre ça : On suppose que k^p-1/(p-1)! est plus petit ou égal à k^k/k! pour p supérieur à 0 ?

  12. #9
    PlaneteF

    Re : Démonstration par récurrence avec factorielle

    Si l'on appelle la propriété :

    La démonstration par récurrence va consister à démontrer que :

    1) --> Attention, ici le premier le premier rang n'est pas (comme c'est souvent le cas), mais .

    2)


    Cordialement
    Dernière modification par PlaneteF ; 10/10/2013 à 00h39.

  13. #10
    PlaneteF

    Re : Démonstration par récurrence avec factorielle

    Je rajoute :

    Ce qui permettra alors de conclure que :

    (c'est bien ce que demande l'énoncé)
    Dernière modification par PlaneteF ; 10/10/2013 à 00h44.

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