Démonstration Terminale S

[inviteb44bb81b]

Bonjour, je n'arrive pas à démontrer un théorème de terminale S. Si vous pouviez m'expliquer comment le résoudre ce serait gentil, merci !
Le théorème est le suivant :
Toute suite décroissante et convergente vers L est minorée par L.
Je dois utiliser un raisonnement par l'absurde, j'en suis là :

Soit (Un) une suite décroissante avec lim(Un) = L. Démontrer que pour tout n appartenant au entier naturel, Un >ou= L ; autrement dit que (Un) est minorée par L.
On utilise un raisonnement par l'absurde :
On suppose que (Un) n'est pas minorée par L, donc il existe un entier naturel n0 tel que Un0 < L.
Or, la suite (Un) est décroissante alors, pour tout entier naturel n, n<n0 alors Un0 <ou= Un < L

Je bloque ici, est-ce que quelqu'un peut m'aider ?
Merci
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[PlaneteF]

Bonjour,

On suppose que (Un) n'est pas minorée par L, donc il existe un entier naturel n0 tel que Un0 < L.
Or, la suite (Un) est décroissante alors, pour tout entier naturel n, n<n0 alors Un0 <ou= Un < L

2 choses :

1) Ta conclusion est fausse car ce n'est pas parce que U_n0 < L et U_n0 <= U_n que tu peux en conclure que U_n < L

2) De toute manière ce qui nous intéresse ici ce n'est pas ce qui se passe pour n<n₀ mais ce qui se passe pour n>n₀



​Cordialement

[inviteb44bb81b]

Merci, j'ai vu mon erreur mais je ne sais toujours pas comment finir ma démonstration...
Tu pourrais me donner un indice ?
Cordialement

[PlaneteF]

Merci, j'ai vu mon erreur mais je ne sais toujours pas comment finir ma démonstration...
Tu pourrais me donner un indice ?

L'indice, je te l'ai donné dans le point 2) de mon dernier message :

Comme la suite est décroissante on a : Quel que soit n>n₀, U_n<=U_n0 . Sur cette inégalité, puisque (U_n) est convergente, tu peux "passer à la limite", ce qui va te donner une contradiction sur L.

Cdt

[A voir en vidéo sur Futura]