Aide exercice de suite CNED terminale S

[invitec0ddc8e6]

Bonjour , voilà , j'ai un devoir a rendre au CNED sauf que je bloque sur le premier exercices , tout le reste sa va mais celui la j'y arrive pas du tout . Donc voila je vous le poste en espérant que vous arriverais à m'aider :s

Partie A :

On prendra comme prérequis les regles opératoires sur les limites et les théoréme de comparaison a l'infini.
On rappelle l'inégalité de Bernoulli :
Pour tout x > 0 et tout n de N , (1+x)n 1+nx .
1 ) A l'aide de l'inégalité de Bernoulli, montrer que lim 2n = + quand n -> + oo

2 ) En déduire lim 2(2n)= + quand n -> + oo



Donc voilà .. et ce n'est que la premiére partie .

Pour le 1) j'ai déja avancé un peu et j'ai voila ce que j'ai fais un peu déjà :

Pour tout x > 0 et tout n de N , (1+x)n 1+nx .

x=1

(1+1)n 1+n*2

soit 2n 1+2n
-----

[invitec0ddc8e6]

Pour la Partie B :

Soit (u_n) la suite définie par son premier terme u₀ et par la relation de récurrence : u_n+1 =f(u_n) où f est définie sur R par : f(x) = x - x²

1) Dresser le tableau de variation de f sur R

Sa j'ai réussis a le faire moi même , je vous donne quand même mes résultats pour voir si je ne me suis pas trompé :

 Cliquez pour afficher

2) Déterminer le sens de vatiation de la suite (U_n)

Pour cette question j'ai répondu que la suite était donc décroissante .

3) Cas : u₀ = -2
a) Montrer, par récurrence que pour tout n de N , U_n ≤ -2⁽²ⁿ⁾ .
b) En déduire lim u_n quand n -> ∞
c) A l'aide de l'intégatité trouver un rang n₁ tel que pour tout n≥n₁ , u_n ≤ -10¹⁰

4) Cas: u0 = 0.5
a) Montrer que pour tout n de N, 0≤u_n≤0.5
b) En déduire que u_n converge
c) Montrer que pour tout n de N , u_n ≤ 1/n . En déduire lim u_n quand n -> +∞



J'ai bloqué a partir du 3) malheureusement . :/

Désolé pour la longeur , je suis nul avec les suites , promis aprés sa j'arréte de vous embeter

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Pour la partie A.1, il y a un souci, tu dis que x=1 et tu le remplaces en partie par 2 dans l'inégalité.
Mets le signe ">" dans l'inégalité (1+x)ⁿ > 1+nx.

Où vois-tu une difficulté dans le A.2 ? Il est bien écrit "En déduire...", n'est-ce pas ?

Duke.

[invitec0ddc8e6]

Ah oui désolé je fais une faute de frappe .
Donc sa donne :
(1+1)ⁿ > 1+n
2ⁿ > 1 + n

Donc lim 2ⁿ = +∞

non ?

Merci pour ton aide

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited5639bc0]

Bonjour,

Pour la partie B, je n'ai pas vérifié les calculs mais ça à l'air juste.

N'oublie pas de justifier ta réponse en 2).

Pour la 3), écris tes données et lance toi dans la récurrence. Tu la montres au rang 0 (pas compliqué) puis au rang n.
Tu sais que un+1 = un - un²
Et tu supposes aussi que Un ≤ -2^(2n)
En combinant ces deux expressions expressions tu devrais y arriver (Utilise aussi les règles sur les puissances)

[invitec0ddc8e6]

Comme justification j'aurais tendance a dire que un carré est toujours positif donc il tendra automatiquement vers +∞ mais je ne penses pas que ce soit sa . J'ai toujours eu du mal a ce genre de choses , faire les question et les calculs ca mais , mais les justifications ..

Je me lance dans le 3) la je vais faire comme tu m'as dis et voir si j'y arrive .

[invited5639bc0]

un carré est toujours positif donc il tendra automatiquement vers +∞

Euh non... regarde f(x) = 1/x². Ca tend vers 0 et pourtant c'est un carré...

Pour connaitre le sens de variation d'une suite définie avec un+1 en fonction de un, tu peux regarder le signe de un+1 - un par exemple... essaie dans ton cas et regarde quel est le signe.

[invitec0ddc8e6]

Tu sais que un+1 = un - un²
Et tu supposes aussi que Un ≤ -2^(2n)
En combinant ces deux expressions expressions tu devrais y arriver (Utilise aussi les règles sur les puissances)

Comment as tu trouvé sa ? STP


Et j'ai fais au rang 0 , au final j'ai trouvé que -2 ≤ -2 donc j'en ai déduit que c'était vrai , la je passe au rang n mais je ne vois pas comment faire , enfin j'ai essayé des truc qui ne m'ont pas mené a grand choses :s

[invited5639bc0]

Comment as tu trouvé sa ? STP

Bah c'est dans ton énoncé!

Soit (un) la suite définie par son premier terme u0 et par la relation de récurrence : un+1 =f(un) où f est définie sur R par : f(x) = x - x²

Si f(x) = x - x², alors f(un)=...

Ok pour le rang 0, c'est juste.

Maintenant, tu veux majorer

Tu sais que
Donc qu'en déduis-tu sur ?

[invitec0ddc8e6]

Si je fais u_n+1-u_n ça donne :
u_n - u_n^² - u_n
= -u_n²

C'est ça ?

[invited5639bc0]

Exact. Donc qu'en déduis-tu sur le signe de ?
Avec ça tu as la justification de ta réponse à la B.2)

[invitec0ddc8e6]

Bah c'est dans ton énoncé!

Oui j'ai remarqué aprés désolé :S

Donc qu'en déduis-tu sur ?

On en déduit que u_n² est >=-2²ⁿ ?

Exact. Donc qu'en déduis-tu sur le signe de ?
Avec ça tu as la justification de ta réponse à la B.2)

Qu'il est négatif ?

[invited5639bc0]

Qu'il est négatif ?

Eaxctement! est positif donc est négatif. Donc ta suite est décroissante.

On en déduit que un² est

Non, tu passes juste l'expression au carré et tu en déduis que

Ca te donne une première expression pour

(Je rappelle que ce que tu veux démontrer est )

Donc de l'autre côté, tu as

Est-ce que tu vois ce que tu peux faire avec ça pour arriver à démontrer ton inégalité?

[invited5639bc0]

Juste pour préciser quand même:

j'aurais tendance a dire que un carré est toujours positif donc il tendra automatiquement vers +∞

J'espère que tu te rends compte que cette phrase n'a absolument aucun sens mathématique...

J'ai répondu en supposant que tu voulais dire :"Comme la suite est définie comme étant un carré, ses valeurs sont toujours positives donc elle tend vers + quand n tend vers +"
Et comme c'est faux je t'ai corrigé

D'autant plus que si tu trouves qu'elle tend vers +, comment peut-elle être décroissante...? (il faudrait que la suite parte de vraiment très très haut pour décroitre vers + )

Bref, fais attention à tes justifications

[invitec0ddc8e6]

Ca te donne une première expression pour
(Je rappelle que ce que tu veux démontrer est )

Oui mais je ne vois pas comment sa me donne une premiére expréssion pour u_n-u[SUB]n[/SUN]² :/

J'espère que tu te rends compte que cette phrase n'a absolument aucun sens mathématique...

Oui oui je m'en suis rendu compte , enfaite il était 7h00 du matin chez moi et je m'étais pas rendu compte tout seul de l'absurditée que je venais de dire désolé

[invited5639bc0]

Re,

Oui mais je ne vois pas comment sa me donne une premiére expréssion

Disons que ça te donne une majoration pour :

Tu connais et tu sais que

Donc ....

Est-ce que tu vois comment conclure ensuite? Le résultat n'est pas loin du tout...

[invitec0ddc8e6]

Désolé , pour le temps sans répondre . Mais je n'avais plus internet ces derniéres semaines et du coup je viens tout juste de voir ta réponse .
J'ai continuer a essayer de finir cet exercice mais en vain , j'ai tout fais sauf celui la . Mais même si il est trop tard , j'aimerais quand meme pouvoir comprendre et le faire . Si sa te dérange pas de m'aider encore un peu ?

[invited5639bc0]

Salut! ça faisait un moment!

Si tu repars de mon dernier message, il faut juste utiliser les infos que tu as sur un et un².
Tu sais que un est inférieur à qq chose
Tu sais que un² est supérieur à autre chose.
Donc un - un² est inférieur à...

Rappel: a<c et b<d équivaut à a+b<c+d

[invitec0ddc8e6]

Dans ce cas la , vu -Un² est supérieur a -2²ⁿ² non ?

[invited5639bc0]

supérieur? t'es sur?

[invitec0ddc8e6]

supérieur? t'es sur?

Ben non Inférieur , jai oublié de changer le sens avec le signe désolé .

Dans ce cas ,
Comme U_n ≤-2²ⁿ et que 2²ⁿ²≤U_n² alors :
U_n + 2²ⁿ² ≤ -2²ⁿ+U_n² ?

[invited5639bc0]

Exact!
La fin est proche. vois-tu comment conclure? Rappelle toi ce qui t'es demandé, fais apparaitre un+1 dans ton calcul et retravaille légèrement ton expression.

Rappel:
soient a et b positif.
Si c <-a -b, alors c<-a (et c<-b)

[invitec0ddc8e6]

Là je t'avouerais que non =S
J'ai fais des trucs mais qui n'ont aucun sens .. comme :
U_n+2²ⁿ²≤-2²ⁿ+U_n² alors :
U_n-U_n² ≤ -2²ⁿ-2²ⁿ²
La je n'ai aucune idée d'arriver a u_n+1

[invited5639bc0]

un+1 c'est ton membre de gauche! C'est dans ton énoncé!

EDIT: Et d'ailleurs ça n'a pas aucun sens, c'est justement ce qu'il faut faire!

[invitec0ddc8e6]

un+1 c'est ton membre de gauche! C'est dans ton énoncé!

EDIT: Et d'ailleurs ça n'a pas aucun sens, c'est justement ce qu'il faut faire!

Oui , je sais que c'est mon membre de gauche , mais il suffit pas de mettre Un+1 a la place des Un pour avoir la réponse non ? sa serais trop facile ^^

Parce que si il y a juste sa a faire sa donne :
U_n+1-U_n+1²≤-2²ⁿ⁺¹-2²ⁿ⁺¹²

Ensuite si j'utilise le rappel que tu ma donné tout a l'heure : " a<c et b<d équivaut à a+b<c+d "
Est ce que c'est bon si j'en déduis que : U_n+1≤-2²ⁿ⁺¹ et que -U_n+1²≤-2²ⁿ⁺¹² ?

[invited5639bc0]

Pas si facile que ça apparemment...

Relis ton énoncé, que vaut un+1 ?

(Là tu viens décrire un = un+1, c'est archi faux!)

[invitec0ddc8e6]

Ah !
Dans mon énoncé on me dis que : U_n+1=f(U_n) et f(x)=x-x²
U_n+1=U_n-U_n²?

[invited5639bc0]

Les messages 5, 8 et 9 répondent à ta question!!
C'est le point clef de tout ce qu'on est en train de faire! Tu t'en es déjà servi pour montrer que ta suite était décroissante en plus!

EDIT: Il faut reprendre tes exercices depuis le début quand tu les laisses de côté, sinon tu oublies des hypothèses (et celle là est vraiment capitale pour le coup!)

[invited5639bc0]

Oups par conter j'ai fait une erruer dans le rappel que je t'ai donné. Ce n'est pas équivaut, mais implique! donc non, même si ce que tu avais écrit était bon, tu n'aurais pas pu en déduire ça!

ex: 3 < 4 et 1 < 2 donc 3+1 < 4+2
mais 3 n'est pas inférieur à 2

[gg0]

f(x)=x-x²

La notation f(x) =x-x² signifie que si tu calcules f(quoi que ce soit), tu calcules (quoi que ce soit)-(quoi que ce soit)². C'est une chose à savoir définitivement, ça te simplifiera la vie, tu ne seras plus obligé de demander aux autres.
f(4)=4 -4²
f(1+2/3) = (1+2/3)-(1+2/3)²
f(f(x))=f(x)-f(x)²=(x-x²)-(x-x²)²
f(u_n)=u_n-u_n²
etc.

Cordialement.