Bonjour, je fais un blocage sur le raisonnement par récurrence.
on considère la suite (Un) définie surpar u0=1 et, pour tout n>=0, Un+1=Un+2n+3
Démontrer que, pour tout n de
je ne vois pas trop par ou commencer...
Un+2n+3>(n+1)²
Un+2n+3>n²+2n+1
Un+2> n²
Bonsoir,
Ne pensez-vous pas que c'est le moment d'utiliser l'hypothèse de récurrence ?
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Bonsoir.
La rédaction est très étrange
On sait que un > n² (hypothèse de récurrence)
et tu dois montrer que un+1 > (n+1)². On est bien d'accord ?
Donc tu pars de un+1 = un+2n+3 = ...
et dans les pointillés tu utilises l'hypothèse de récurrence et tu t'arranges pour faire apparaître le (n+1)².
La conclusion est immédiate, non ?
Duke.
Duke,
je ne crois pas que Bluemonochrom fasse une preuve par récurrence, il "écrit des calculs". Sans aucune signification pour lui.
Cordialement.
Je ne comprend pas trop comment il faut procéder dans ce raisonnement, car dans certains cas les méthodes sont différentes.
Je ne sais jamais comment démarrer...
Re-
@ gg0 :
Je ne connais pas encore bluemonochrom donc je ne peux pas encore me faire une opinion.
@ bluemonochrom :
Je ne suis pas d'accord. La méthode est TOUJOURS la même ! Ce qui change, ce sont les étapes de calcul permettant de vérifier ladite récurrence.
Essaie de te continuer ce que j'ai proposé dans mon précédent message.
Duke.
1-initialisation
pour n=0, d'une part un= u0=1
d'autre part n2=1²=1
la propriété Un>n² est donc vraie pour n=0
2-Hérédité
Supposons que pour un entier naturel k>=0 la propriété soit vraie c'est à dire que l'on ait :
Uk>k².
Montrons que la propriété est vraie pour l'entier suivant k+1 c'est à dire Uk+1=(k+1)²
On a Uk+1=uk+2k+3 par définition de la suite et Uk>k² par hypothèse de récurrence
donc : Uk+2k+3>(k+1)²
Uk+2k+3>k²+2k+1
Uk+2> k²
mais là je suis bloqué je n'arrive pas à retomber sur Uk> k²
Re-
Si ce qui est écrit en gras ci-dessus est vrai alors la dernière ligne est fausse !...Envoyé par bluemonochrom
Corrige ce qui est en gras et cela ira mieux
J'opte pour une étourderie, n'est-ce pas ?
Je ne comprends pas l'intérêt de cette proposition ici...2-Hérédité
Supposons que pour un entier naturel k>=0 la propriété soit vraie c'est à dire que l'on ait :
Uk>k².
Montrons que la propriété est vraie pour l'entier suivant k+1 c'est à dire Uk+1=(k+1)²
On a Uk+1=uk+2k+3 par définition de la suite et Uk>k² par hypothèse de récurrence
Tu ne peux pas partir de ce que tu dois vérifier... C'est là que cela coince !...donc : Uk+2k+3>(k+1)²
Il y a les points qu'il faut voir mais ils ne sont pas dans l'ordre (logique) de la démonstration...Uk+2k+3>k²+2k+1
Uk+2> k²
Peux-tu me rappeler ce que tu veux montrer ici ?mais là je suis bloqué je n'arrive pas à retomber sur Uk> k²
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En gros, il faut corriger ce qui est en rouge ci-dessus. Mais comme je l'ai dit, c'est plus un problème d'"ordre" qu'autre chose. Sois cohérent.
Duke.
Dernière modification par Duke Alchemist ; 28/10/2013 à 21h23.
désolé pour la raiponce un peu tardive...
1-initialisation
pour n=0, d'une part un= u0=1
d'autre part n2=0²=0
la propriété Un>n² est donc vraie pour n=0
2-Hérédité
Supposons que pour un entier naturel k>=0 la propriété soit vraie c'est à dire que l'on ait :
Uk>k².
Montrons que la propriété est vraie pour l'entier suivant k+1 c'est à dire uk+2k+3>(k+1)²
on sait que (k+1)²=k²+2k+1
par hypothèse de récurrence Uk>k²,
donc en ajoutant 2k+1 à chaque membre, uk+2k+3+2k+1>k²+2k+1 soit uk+4k+4>(k+1)²
Vérifions que Uk+4k+4>uk+2k+3
comme k>=0, on a Uk+4k+4>=5 et on a uk+2k+3>=4 d'où Uk+4k+4>uk+2k+3
par conséquence Uk+4k+4>uk+2k+3>(n+1)², et donc Uk+1>n²
la propriété est héréditaire a partir du rang 0
3-Conclusion
La propriété est vraie pour n= 0 et est héréditaire à partir du rang 4 donc, pour tout entier naturel n>=0
Uk>k²
la rédaction est-elle juste ? n'y avait-t-il pas un moyen de faire plus court..
Salut!
Le raisonnement de ton hérédité me semble un peu flou, essaie de raisonner par étape très rigoureusement(en maths rien n'est plus important que de réfléchir avec rigueur)
Je sais que :
uk> k² (hypothèse)
Montrons que :
uk+1 > (k+1)²
Au niveau lycée, les récurrences marchent toutes de la même manière :
1 )On commence par exprimer uk+1 en fonction de uk
uk+1 = uk + 2k + 3
2)On utilise l'hypothèse sur uk : c'est là qu'il faut être rigoureux et ne pas chercher à "bidouiller" pour arriver au résultat
Les deux questions à se poser pour finir le problème à ce niveau sont :
Qu'est ce que l'hypothèse sur uk me permet d'affirmer ? Quel est le résultat final à obtenir ? (ici, tu cherches à prouver que uk+1 > (k+1)² )
Les raisonnements par récurrence au lycée sont vraiment faciles une fois qu'on a pigé le truc, je te conseille d'y réfléchir
j'ai vraiment du mal à saisir comment utiliser l'hypothèse... pour cette démonstration je me suis aidée d'un exemple du livre...
Reprenons pour l'utilisation de l'hypothèse
uk+1 = uk + 2k + 3
Si uk > k² , alors uk+1 > ... ( juste au dessus on a une expression de uk+1 en fonction de uk...)
Le résultat final est à obtenir est que uk+1 > (k+1)²
(nb. (k+1)² = k² + 2k + 1 )
Je ne comprend pas ce que vous voulez dire dans cette égalité...
"nb" signifie "nota bene", c'est juste pour dire que cette égalité va te servir, c'est un rappel en gros
c'est bon je pense avoir trouvé
Un>n²
Un+2n>n²+2n
Un+2n+3>n²+2n+3
Un+1>n²+2n+3
et on sait que (n+1)²=n²+2n+1
on constate donc que n²+2n+3>n²+2n+1
ce qui nous prouve que Un>n²
évidemment c'est très mal rédigé, mais dans la logique c'est cela, non ?
En effet, c'est pas fou fouc'est très mal rédigé
Tout à fait!mais dans la logique c'est cela, non ?
Au point de vue logique
"on constate donc que n²+2n+3>n²+2n+1"
est une énormité !
Le "donc" veut dire que cette constatation est une conséquence (cours de français au collège) de ce qui précède. Or ce qui précède ne dit rien de n²+2n+1.
En fait, on voit que n²+2n+3>n²+2n+1, c'est une conséquence de 3>1 (et pas de ce qu'on a dit sur la suite un) .
Si on est sérieux, on ne met pas des "donc" au petit bonheur la chance, pour "faire mathématique", on l'emploie quand ça a du sens, et on écrit des phrases qu'on comprend soi-même. Si on n'arrive pas à écrire une phrase qu'on comprend soi-même c'est qu'on n'a pas compris.
Cordialement.
"Ce qui se conçoit bien s'énonce clairement
et les mots pour le dire viennent aisément" Nicolas Boileau (XVIIe siècle)
