fonctions dérivée Dm de terminale S

[invite97131c00]

L'énoncé est le suivant:
"Nous admettons qu'il existe une fonction f définie et dérivable sur R et vérifiant f(0)=0, et pour tout réel x f'(x)=1/(1+x^2).
a) Montrer que la fonction g : x -> f(x)+f(-x) est dérivable sur R et calculer sa dérivée.
b) Calculer g(0). En déduire que la fonction f est impaire."
Ma question est la suivante : est-on obligé de calculer f(x)? si oui, comment faire?
J'ai essayé de répondre à la question a) en passant par f'(x).
g'(x)=f'(x)+f'(-x) = 1/(1+x^2) + 1/(1-x^2) = (1-x^2)/((1+x^2)(1-x^2)) + (1+x^2)/((1+x^2)(1-x^2)) = (1-x^2)/(1-x^4) + (1+x^2)/(1-x^4) = 2/(1-x^4).
Est-ce bon ce que j'ai fait? Sinon, comment auriez-vous fait pour répondre à la question? Je suis dubitative à mon résultat car je ne vois pas comment répondre à la question b) sans avoir calculé f(x). Je serais reconnaissante de toute aide. Merci d'avance.
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[invited5639bc0]

Bonjour,

Non il ne faut pas remonter à f (bien que sa primitive soit connue, mais pas en terminale...).
Il faut utiliser les propriétés sur la dérivation. Ce n'est que du français, aucun calcul n'est nécessaire.

EDIT: Une de ses primitives si on veut etre rigoureux

[invited5639bc0]

D'autant plus que tu ne peux pas écrire "g'(x) = ..." car tu n'as pas montré que g était dérivable

[pallas]

connais tu la derivée de f(u(x)) ?pour deriver f(-x) !!

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

Bonjour,

g'(x)=f'(x)+f'(-x) = 1/(1+x^2) + 1/(1-x^2)

Au delà de tout ce qui a été dit précédemment, il y a 2 erreurs dans ce que tu écris là :

1) g'(x) ne vaut pas f'(x)+f'(-x)

2) f'(-x) ne vaut pas 1/(1-x²)


Cordialement

[invite97131c00]

Ok merci mais j'ai du mal à trouver la dérivée de f(-x).

[PlaneteF]

Ok merci mais j'ai du mal à trouver la dérivée de f(-x).

Tu utilises la dérivée de la composée de 2 fonctions : (u o v)' = v'.(u' o v)

Avec ici : u=f et v(x)=-x

[invite97131c00]

En appliquant cette formule je trouve f'(-x) = (1/(1+x^2))^2 mais cela me paraît bizarre, j'ai vraiment du mal avec les dérivées des fonctions composées :/

[invite97131c00]

ou alors f'(-x) = -1/(1+x^2)

[PlaneteF]

Attention, tu es en train de mélanger et , ... ce n'est pas la même chose !

[invite97131c00]

c'est possible, je ne vois pas où est la différence

[PlaneteF]

Prend un exemple tout simple : .

Calcule les 2 expressions, tu verras bien que tu ne trouveras pas la même chose !

[invite97131c00]

ok je vois mais du coup pour la dérivée de f(-x) je trouve f'(x)= f'(-x) ce n'est pas possible si?

[PlaneteF]

Tu parles de quelle fonction f, celle de l'énoncé ?

[invite97131c00]

de celle de l'énoncé oui

[PlaneteF]

ok je vois mais du coup pour la dérivée de f(-x) je trouve f'(x)= f'(-x) ce n'est pas possible si?

Phrase qui ne veut rien dire !

f'(x)=f'(-x) çà OK, en effet la fonction f' donnée par l'énoncé est de toute évidence paire, donc là dessus pas de suspens, ...

Maintenant que vaut [f(-x)]' ?


Cdt

[invite97131c00]

mais dans l'énoncé c'est écrit que la fonction f est impaire donc f'(-x) = - f'(x), donc logiquement je devrais obtenir f'(-x)= -1/(1+x^2), enfin c'est ce que je pensais mais je ne suis pas sûre et c'est pour cela que je demande, mais là j'ai perdu le fil apparemment

[PlaneteF]

(...) la fonction f est impaire donc f'(-x) = - f'(x), (...)

Ce "donc" est faux ... et n'oublie pas que f impaire c'est ce que tu dois démontrer.

[invite97131c00]

Effectivement, je suis perdu :/ pour la question a) j'obtiens f'(x) = f'(-x) mais je dois démontrer que la fonction est impaire.. Cela me semble contradictoire

[invite8d4af10e]

Bonjour
pourquoi tu n'appliques pas ce qu'on t'a conseillé
Tu utilises la dérivée de la composée de 2 fonctions : (u o v)' = v'.(u' o v)

Avec ici : u=f et v(x)=-x
tu sais ce que c'est fog ?

[PlaneteF]

Effectivement, je suis perdu :/ pour la question a) j'obtiens f'(x) = f'(-x) mais je dois démontrer que la fonction est impaire.. Cela me semble contradictoire

Je ne vois pas en quoi une fonction impaire avec sa fonction dérivée paire seraient deux choses contradictoires ??

Prend par exemple la fonction f(x)=x. Cette fonction est impaire.

Maintenant f'(x)=1 ... et la fonction dérivée est bien paire !

[invite97131c00]

D'accord, je ne suis pas très forte en Maths (comme tu as sûrement remarqué..) et je pensais que quand la dérivée d'une fonction est paire, sa fonction l'est aussi, et inversement mais maintenant je sais que ce n'est pas le cas, merci
mais pour revenir au problème initial, on a bien f'(-x) = 1/(1+x^2) et mais comme il s'agit d'une fonction arctangente, peut-on écrire arctan (x) + arctan(-x) pour g? puisque g est définie par g(x) = f(x) + f(-x)..

[PlaneteF]

mais pour revenir au problème initial, on a bien f'(-x) = 1/(1+x^2) et mais comme il s'agit d'une fonction arctangente, peut-on écrire arctan (x) + arctan(-x) pour g? puisque g est définie par g(x) = f(x) + f(-x)..

Tu te prends le chou là

On a g(x)=f(x)+f(-x) et on te demande de calculer g'(x).

Et ben, go, andiamo !

g'(x) = [ f(x)+f(-x) ]' = f'(x) + [f(-x)]'

Et donc, que vaut [f(-x)]' en fonction de f'(-x) ?

Et puisque f' est paire, tu obtiens finalement l'expression g'(x) demandée !

[invite97131c00]

et si on a h(x) = f(x) + f (1/x)
avec [f(1/x)]' = (-x)/(x^2+x^4) je trouve h'(x) = [f(x) + f(1/x)]' = f'(x)+ [f(1/x)]' = 1/(1 + x^2) + ((-x)/(x^2 +x^4)) = (x^2-x)/(x^2+x^4)

[PlaneteF]

Quel est le rapport avec l'énoncé

Cdt