Les suites

[invite2f157629]

bonjour,

Pouvez vous m'aide a résoudre la question 2 et tout le petit 3 svp, je n'est pas compris grand chose .

voila l'énoncer:

Soit la fonction f définie sur ]-2;+ l'infinie[ par:

f(x)= 4x-1/x+2

on considère la suite U définie par U0=5 et pour tout entier naturel n, par un+1=f(Un)

2)
a Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a Un supérieur ou égale 1.
b en déduire que le suite U est monotone.
c déterminer la limite de la suite U.

3) Pour tout entier naturel n, on pose Vn= 1/Un-1
a. démontrer que la suite est arithmétique.
b. exprimer Vn puis Un, en fonction de n.
c. en déduire la limite de la suite U.
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[gg0]

Bonjour.

Inspire-toi de ce que tu fais sur ton autre sujet.

Cordialement.

[invite2f157629]

merci

[invite2f157629]

pour la 3 a) j'ai fait comme cela

Vn= 1/(Un-1) Un=1+1/Vn


V_{n+1}=\dfrac{1}{U_{n+1}-1}=\dfrac{1}{\dfrac{4U_n-1}{U_n+2}-1}=\dfrac{1}{\dfrac{3U_n-3}{U_n+2}}=\dfrac{U_n+2}{3U_n-3}=\dfrac{1+\dfrac{1}{V_n}+2}{ 3(1+\dfrac{1}{V_n})-3}=\dfrac{3+\dfrac{1}{V_n}}{\d frac{3}{V_n}}=V_n+\dfrac{1}{3}

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

V_{n+1}=\dfrac{1}{U_{n+1}-1}=\dfrac{1}{\dfrac{4U_n-1}{U_n+2}-1}=\dfrac{1}{\dfrac{3U_n-3}{U_n+2}}=\dfrac{U_n+2}{3U_n-3}=\dfrac{1+\dfrac{1}{V_n}+2}{ 3(1+\dfrac{1}{V_n})-3}=\dfrac{3+\dfrac{1}{V_n}}{\d frac{3}{V_n}}=V_n+\dfrac{1}{3}

Pour les fractions il faut utiliser \frac et non pas \dfrac ... et ensuite tout ton calcul doit être mis entre 2 balises TEX (tu as un bouton dans la palette qui te le fait automatiquement).

[invite2f157629]

quelqu'un pourrai me dire comment on fait pour la question 2a svp merci

[PlaneteF]

f(x)= 4x-1/x+2

Ce qui signifie : , ce qui n'est pas compatible avec le domaine de définition donné par l'énoncé.

[invite2f157629]

donc pour la 2a
récurrence...

Supposons que Un+1 supérieur a 1
Montrons que Un supérieur a 1

Un+1= 4Un-1/Un+2

[PlaneteF]

Tu n'as pas répondu à l'incohérence de l'énoncé tel que tu l'as écrit --> Cf. mon précédent message

[invite2f157629]

oui et donc je ne comprend pas ton message car
c'est cela qui est marquer sur l'exo

[PlaneteF]

oui et donc je ne comprend pas ton message car
c'est cela qui est marquer sur l'exo

Le domaine de définition de indiqué par l'énoncé ne peut pas être ]-2 ; +oo[ car la fonction (telle que tu l'as écrite) n'est pas définie en 0 !!

[invite2f157629]

oui elle n'est définie en 0 donc ?

[PlaneteF]

oui elle n'est définie en 0 donc ?

... donc elle n'est pas définie sur ]-2 ; +oo[

[invite2f157629]

ah cela doit être une erreur

[invite2f157629]

mais sinon pour ma réponse ?

[PlaneteF]

Tu es sûr qu'il ne manque pas des parenthèses dans l'expression de f(x) que tu as donné ?

[invite2f157629]

f(x)=(4x-1)/(x+2)

[PlaneteF]

f(x)=(4x-1)/(x+2)

Et ben là OK, pas d'incohérence dans l'énoncé !!!

Maintenant pour montrer par récurrence que :

L'initialisation est évidente.

Ensuite tu supposes que et tu veux démontrer que

Tu peux alors partir du résultat à démontrer et obtenir une proposition vraie mais attention on a le droit de faire cela pour conclure uniquement si l'on a que des équivalences entre chaque ligne de calcul (ce qui est le cas ici). Si jamais tu as ne serait-ce qu'une seule implication, tu ne pourrais pas conclure de cette manière.

N.B. : Ce point est très important à comprendre pas que pour cet exo mais d'une manière générale.

[PlaneteF]

N.B. : Ce point est très important à comprendre pas que pour cet exo mais d'une manière générale.

Ou dit de manière plus formelle, si tu veux démontrer que Proposition1 est vraie :

(Proposition1) <=> (Proposition2 vraie) te permet de conclure que Proposition1 est vraie (tu peux partir du résultat à démontrer).

Par contre :

(Proposition1) => (Proposition2 vraie) ne te permet pas de conclure car une proposition fausse peut impliquer une proposition vraie (et donc dans ce cas tu ne peux pas partir du résultat à démontrer).

[invite2f157629]

Un+1= (4Un-1)/(Un+2) supérieur a 1 et tu remplace les Un par quoi ?

[PlaneteF]

Un+1= (4Un-1)/(Un+2) supérieur a 1 et tu remplace les Un par quoi ?

Par rien, ... tu écris juste une inégalité équivalente.

[invite2f157629]

cela fait Un+1=4Un-1 gep Un+2
=3Un gep Un+1

bloquer

[PlaneteF]

cela fait Un+1=4Un-1 gep Un+2
=3Un gep Un+1

4U_n-1 >= U_n+2

Après ce n'est quand même pas compliqué de regrouper les U_n dans un membre et les termes constants dans l'autre membre !

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"bloqué(e)"

[invite2f157629]

rt comment on fait pour exprimer Vn en fonction de n et de Un ?

[PlaneteF]

rt comment on fait pour exprimer Vn en fonction de n et de Un ?

As-tu montré que la suite (V_n) était une suite arithmétique ?

[PlaneteF]

3) Pour tout entier naturel n, on pose Vn= 1/Un-1

Au fait, il manque des parenthèses.

[invite2f157629]

donc c'est Vn+1-Vn= 1/(Un-1) - 1/(Un+1 -1)
oui de raison 1/3

[PlaneteF]

donc c'est Vn+1-Vn= 1/(Un-1) - 1/(Un+1 -1)
oui de raison 1/3

Donc tu sais que (V_n) est une suite arithmétique dont tu connais sa raison et son premier terme, ... donc tu peux calculer V_n en fonction de n immédiatement.

[invite2f157629]

donc Vn= 1/U0-1
= 1/5-1
= 1/4

[PlaneteF]

Ca c'est V₀, pas V_n, ... et puis tu oublies encore des parenthèses dans ta 1ère ligne !!

Enchaîne, ...