Mêler probas et suites...

[invitef2bc659c]

Bonjour!
Un petit soucis sur un dns..!
Alors voilà, le gros de l'énoncé: en 2010 60% des salariés d'une entreprise utilisent leur voiture. En 2011, 30% de ceux-là ne l'utilisent plus et 5% de ceux qui ne l'utilisaient pas, l'utilisent. Nous avons An l'évènement "utiliser sa voiture au cours de l'année (2010+n)" et pn = P(An). Enfin p0 = 0.6.

A la question 1, on me demande de calculer P1, je trouve p1 =11/25. On me demande ensuite de donne Pn+1 en fonction de Pn.
Je trouve, d'après les probas totales: Pn+1 = (13/20)Pn + 5/100.
La question deux concernant un algorithme facile, la question 3 arrive..
On me demande de démontrer par recurrence que: Pn = (1/7) + (16/35) * 0.65^n.
Et la je bloque, j'ai essayer de démontrer que la suite était géométrique, hors ca bloque à un moment donné, elle n'est pas arithmétique, donc je ne sais plus comment faire.. J'me suis demandée si elle n'était pas et arithmétique et géométrique, c'est à dire envisager que la suite Pn+1 soit la somme de deux "sous-suites" à traiter séparemment..

Bref, merci d'avance!
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[Duke Alchemist]

Bonjour.

On te demande bien une démonstration par récurrence, non ?
Si tu connais les étapes (et si tu as bon à l'expression de P(n+1)), tu dois pouvoir exprimer P(n+1) en fonction de n.
Pourquoi veux-tu t'embêter à démontrer des choses qui ne sont pas demandées ?...

Duke.

[Duke Alchemist]

Re-

Les résultats précédents sont corrects et la récurrence mène très vite au résultat attendu.

Duke.

[invitef2bc659c]

Bonjour,
Merci pour votre réponse rapide!
Mon initialisation est bonne, avec P0 = 0,6.
Cependant je ne comprends pas comment démontrer ma hiérarchisation! En fait, c'est peut être ça qui me plonge dans l'erreur, mais j'identifie l'expression a trouver comme étant l'expression d'une suite géométrique (avec le puissance n notamment). Je ne sais pas comment faire partir ma hiérarchisation..

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite19784aef]

C'est une récurrence assez immédiate (avec un peu de recul)... juste quelques calculs
Oublie les suites géométriques. Tu n'as besoin d'aucun autre outils qu'une récurrence et des calculs...

[Duke Alchemist]

Bonjour.

En effet, rien de bien compliqué.

Initialisation OK

Hypothèse de récurrence : P_n = (1/7) + (16/35) * 0.65ⁿ. OK.

Tu dois montrer que P_n+1 = (1/7) + (16/35) * 0.65ⁿ⁺¹.
Pour cela, tu pars de P_n+1 = (13/20)P_n + 5/100
Tu remplaces P_n en utilisant l'hypothèse de récurrence afin d'aboutir, après quelques petits calculs à ce qui est en gras ci-dessus.

Tu conclus.

Duke.