Problème thermodynamique

[invite77345a2d]

Bonjour!
Alors voilà je dois résoudre cet exercice mais je suis totalement perdue et je n'ai aucune idée de comment je dois procéder:

On souhaite étudier la loi de refroidissement d'une tasse de café chaud. On suppose que la température ambiante de la pièce dans laquelle se trouve le café est constante et égale à 20˚C.
On note f(t) la température (en ˚C) du café à l'instant t (en min). Ainsi, f'(t) représente la vitesse de refroidissement à l'instant t, (ou taux de perte de chaleur).
On modélise le problème par la loi de refroidissement, énoncée par Isaac Newton : « la vitesse de refroidissement d'un corps est proportionnelle à la différence de température entre ce corps et le milieu ambiant ».
Ici, on estime que cette loi aboutit à la condition: (E) : f′(t) = −0, 2[f(t) − 20].
1. On s'intéresse d'abord aux fonctions g vérifiant la condition (H) : g′(t) = −0, 2g(t).
(a) Montrer que les fonctions tke−0,2t, où k est une constante réelle, vérifient toutesla condition (H).
(b) Réciproquement, démontrer que si g′(t) = −0,2g(t) alors il existe un réel k tel que, pour tout t 0,g(t) = ke−0,2t: pour cela, on pourra étudier les variations de lafonction ϕ définie sur [0; +∞[ par ϕ(t) = g(t)/e−0,2t.
(c) En déduire toutes les fonctions g vérifiant (H).

2. Recherche des fonctions f vérifiant (E).
(a) Démontrer qu'il n'existe qu'une fonction constante vérifiant (E), que l'on déterminera et que l'on notera u.
(b) Démontrer qu'une fonction f vérifie (E) si et seulement si f − u vérifie (H).
(c) En déduire toutes les fonctions f vérifiant (E).

3. Etude de la solution du problème
(a) Sachant qu'à l'instant t = 0, le café a une température initiale de 80˚C en le versant dans la tasse, vérifier que, au bout de t minutes, la température du café est f(t) = 60e−0,2t + 20.
(b) Quelle est la température du café au bout de 5 minutes ?
(c) Vérifier que la température du café diminue au fil du temps et indiquer la température « limite » du café à long terme.

Si quelqu'un pouvait m'aider.
Merci d'avance!
Sabrina
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[invite19784aef]

où as-tu besoin d'aide?
Le sous-entendu est "qu'as tu fait et où bloques-tu..."

[invite427a7819]

Bonjour !

Mon premier conseil : ne pas paniquer et prendre les questions une à une.

Dans la première question, on te demande de vérifier une condition. Connais-tu la dérivée des fonctions de type t -> exp(at) ? Si oui, tu ne devrais pas avoir de mal à voir si la fonction qui t'es proposée vérifie la condition (H) ou pas... (D'ailleurs il y a une faute : les fonctions que tu veux tester sont de type t -> k*exp(-0,2*t), c'est corrigé dans la question d'après).

Pour ce qui est de la b), là encore, c'est plutôt détaillé... Sais-tu étudier les variations d'une fonction, en général ?

Pour la c), tu peux te servir des deux questions précédentes. Tu as montré dans la a) que toutes les fonctions d'une certaine forme vérifiaient la condition (H), et dans la b) que toute fonction vérifiant la condition (H) était de cette forme. Qu'en déduire sur l'ensemble des fonctions qui vérifient la condition, et l'ensemble des fonctions de la forme trouvée ?


Maintenant, quelques remarques :

En général, on préfère voir arriver quelqu'un avec des questions précises plutôt qu'un exercice complet. Du genre "je n'arrive pas à dériver la fonction qu'on m'a donnée donc je ne peux pas vérifier la condition" ou "je ne comprends pas ce que veut dire "vérifier la condition" ".

De plus, avant la dernière réforme, la résolution de ce type d'équation (donc, la question 1.) était traitée quelque part en cours, lors de la définition de la fonction exponentielle (que tu utilises ici) : on la définissait comme la fonction solution de l'équation y' = y telle que y(0) = 1, et on en profitait pour trouver toutes les solutions de l'équation y'=y (sans condition initiale). Cela pourrait valoir le coup de relire ton cours sur le sujet pour être sûre de bien comprendre ce type de raisonnement (souvent utilisé dans la résolution de ces équations au lycée).

Bonne journée, et n'hésite pas à poser des questions si tu ne comprends pas ce que j'ai voulu dire.
Elwyr.

[invite77345a2d]

Matt > J'ai surtout besoin d'aide pour les deux premières parties. Et je n'ai réellement rien fait pour l'instant si ce n'est que de la réflexion sur ce que je pourrais faire pour répondre.

Elwyr > a) Oui pardon j'ai fait une faute c'est t -> ke^(-0.2t)
Sinon non je n'ai pas vu la fonction de type gk: t -> exp (at). Comme c'est un exercice de DM je pense que ma prof veut nous faire réfléchir. Elle fait souvent ça dans les DM.
Egalement j'ai vu en effet ceci y'=y telle que y(0)=1. En fait je suis pas sûre d'avoir compris la question. Il faut dire en gros que (H):g'(t)=-0.2g(t)=gk: t -> ke^(-0.2t)?

b) Oui je sais étudier les variations d'une fonction. Il faudrait donc que j'étudie les variations de ϕ(t)?

c) J'aimerais faire la a) et la b) pour réellement comprendre.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite427a7819]

Evidemment, c'est toujours mieux de comprendre. Ma remarque sur la c) visait surtout à noter que tu pouvais réfléchir à cette question même en n'ayant pas réussi les deux précédentes, puisque les réponses y sont données (c'est parfois bien pratique si on travaille en temps limité).

Pour ce qui est de la dériver des fonctions t-> exp(at) (a étant un réel quelconque), je doute très fort que ce soit un des sujets de réflexion offerts par ta prof - soit elle vous a appris à dériver une fonction composée (de mémoire ce n'est pas le cas en terminale), soit elle vous a donné la dérivée dans ce cas particulier. Ce n'est pas le genre de choses qui se devine.

Ce devrait être écrit quelque part dans ton court, mais pour mémoire : si f est définie sur R par f : t -> exp(at), alors pour tout t réel, f'(t) = a*exp(at).

Il faut dire en gros que (H):g'(t)=-0.2g(t)=gk: t -> ke^(-0.2t)?

Je ne comprends pas du tout ce que tu as voulu dire.
On te donne une fonction g d'une certaine forme. La condition (H) concerne un lien entre une fonction et sa dérivée... Donc, pour savoir si ta fonction g vérifie la condition (H), que dois-tu commencer par faire ?


Pour ce qui est de la b), oui, mais ce n'est pas moi qui le dis, c'est ton énoncé :-'

[invite77345a2d]

a) J'ai retrouvé ceci: f(x)=e^u(x) est dérivable sur D et f'(x)= u'(x)e^(u(x)). C'est de cela que tu parles?
Et donc je dois dériver g? En plus elle se trouve comme la dérivée du dessus (c'est magique ^^).

Donc si c'est ça (histoire d'avancer):

u(x)= -0.2t
u'(x)= -0.2

g'(x)=-0.2*e^(-0.2t) mais après ça? e^(-0.2t)= g(t)?

[invite427a7819]

Yep, c'est bien ce dont je parlais.

Effectivement, tu es presque à la bonne réponse (sauf qu'il y avait une petite constante k qui traînait dans la définition de g, ce qui ne change rien à la dérivée). Aussi, tu n'as qu'une variable en fait : tu as pu montrer que, pour tout t réel positif, g'(t) = -0.2*exp(-0.2t) = -0.2g(t), ce qui correspond précisément à la condition (H).

Pour la suite, on part de l'hypothèse inverse : tu as une fonction g dont tu ignores tout, sauf un petit quelque chose sur sa dérivée. Cela devra te suffire pour étudier phi, et tu devrais trouver cette fonction (je pense) fort sympathique.

[invite77345a2d]

Oui mais k dérivée vaut 0, non?
Donc c'est tout pour la question a)? Je dis que pour tout réel t positif g'(x)= Je dérive= -0.2g(t), je dis que ça correspond à la condition H et c'est tout?

b) Pour faire le tableau de variation il faut que je trouve ϕ'(t).
ϕ'(t)= (u'v*uv')/v²

u=g(t)= ke^(-0.2t)
u'=g'(t)= -0.2*ke^(-0.2t)
v=e^(-0.2t)
v'= -0.2e^(-0.2t)

ϕ'(t)= [(-0.2*ke^(-0.2t))* e^(-0.2t) - ke^(-0.2t) * (-0.2e^(-0.2t))] / (e^(-0.2t))²
= -0.2k - (-0.2k) = -0.2k+0.2k= 0 heuuu c'est normal?

[invite427a7819]

Pour la a), bah, oui, puisque ça répond à la question ^^ (fais tout de même gaffe avec tes quatificateurs, si tu commences à dire que pour tout réel positif t, g'(x)...)

Pour la suite, ton calcul est juste. Que dire maintenant d'une fonction dont la dérivée est nulle ? Quelles informations cela t'apporte-t-il sur g ?

[invite77345a2d]

a) Oui g(t) je voulais dire ^^.

b) Comme g' est nulle alors g est constante. C'est encore magique mdr
Donc pas besoin de tableau de variations ça m'arrange haha.

c) "En déduire toutes les fonctions g vérifiant H" càd qu'il faut trouver une équation de droite?

[invite427a7819]

Houlah, point. C'est pas g qui est constante, c'est phi ! Et mettons (au hasard), que tu appelles k cette constante, tu devrais pouvoir déduire l'expression de g... Qui, pour le coup, t'apportera plus pour la question suivante.

[invite77345a2d]

Ah oui je me suis trompée. Donc c'est ϕ qui est constante. En fait je vois pas en quoi ϕ nous aide? Sauf si ça veut dire que g(t)= ϕ(t) * e^(-0.2t)?

[invite77345a2d]

Du coup si c'est ça, comme e^x ne peut pas être négative (il me semble) mais qu'il y a tout de même "^-0.2t" donc elle est décroissante jusque 0?

[invite427a7819]

Ne mélangeons pas tout, et prenons un peu de recul.

Le but de l'exercice, c'est d'avoir des informations sur g.

Pour cela, on t'a suggéré d'étudier les variations de phi : tu l'as fait, elle est constante.

Effectivement, comme tu dis, et puisque l'exponentielle ne s'annule jamais, tu en déduis que, pour tout t positif,

Mais phi est une fonction constante... Ce qui veut dire qu'il existe un réel (disons, k) tel que pour tout t, phi(t) = k.

D'où l'expression de g qu'on te demandait de trouver. Il te reste maintenant à conclure sur la question suivante.

[invite77345a2d]

Ah oui donc comme ϕ(t)=k car k est une constante et on retrouve bien l'expression g(t)=ke^(-0.2t)?
Et donc là on a démontrer qu'il existe un réel k?

[invite427a7819]

En effet. Il ne te reste plus qu'à conclure sur l'ensemble des fonctions qui vérifient la relation et tu seras venue à bout de cette question !

[invite77345a2d]

Je ne comprends pas ce que l'on veut pour la question c).

Tout ce qu'on sait de g c'est que g(t)=ke^(-0.2t), non?

[invite427a7819]

Difficile de savoir qui est ce g, puisqu'il change à chaque question.

Pour l'instant ce qu'on est parvenu à montrer (en reformulant un peu), c'est que :

* Toutes les fonctions g telles qu'il existe un réel k tel que g : t -> k*exp(-0.2t) (sur le domaine qui va bien) vérifient la relation H (question a))
* Si une fonction vérifie la relation H, elle est de la forme énoncée ci-dessus. (question b))

Il n'y a effectivement pas grand chose à faire, mais c'est important de le préciser. En général, une équation (et "trouver l'ensemble des fonctions vérifiant la relation (H)", c'est bien résoudre une équation) se résout par équivalence : une fonction est solution si et seulement si elle est de telle forme. Ici, on a pas cherché à procéder ainsi : on a commencé par vérifier que certaines fonctions étaient bien solution, et ensuite on a cherché la forme d'une fonction qui serait solution.

A chaque fois on a raisonné par implications successives, l'équation n'est donc, en l'état, pas résolue. Qu'est-ce qui permet de passer des deux implications qu'on a vues et montrées à "les fonctions vérifiant la relation (H) sont celles-là, et seulement celles-là" ?

[invite77345a2d]

Je ne vois pas. Une démonstration? Genre par l'absurde avec une équation? Mais je ne saurais pas dire quoi mettre.

Ah si peut-être g'=g non? Car g' c'est H.

[invite427a7819]

Houlah. Je dois t'avoir sévèrement embrouillé. Pardon.

Ta prof t'a sûrement parlé du raisonnement par double équivalence : montrer que A est équivalent à B, ça revient à montrer que si A, alors B puis que si B, alors A.

C'est ce qu'on a fait ici : d'abord, on a montré que si une fonction est de la forme (blabla), alors elle vérifie (H), puis réciproquement que si elle vérifie (H) alors elle est de la forme (blabla).

On peut conclure que l'équivalence est vraie, et que les fonctions vérifiant la relation (H) sont exactement celles de la forme (blabla).


En général, quand on raisonne, on résout plutôt les questions dans l'ordre inverse : d'abord une question du même type que la b) (qu'on appelle l'analyse du problème) et qui nous donne une certaine forme pour les solutions, puis une question du même type que la a) (appelée synthèse) qui permet de vérifier qu'on a pas obtenu une forme trop générale auparavant. Et des fois (là, ce n'était pas le cas) on a effectivement trop de solutions, c'est donc capital de bien faire les deux parties.

(Si je ne suis pas clair dans ce dernier paragraphe ce n'est pas fondamental, ce qui est important c'est de bien comprendre le raisonnement par double implication, qui permet d'aboutir à l'équivalence, c'est à dire à avoir trouvé toutes les fonctions qui vérifient la relation (H))

Est-ce plus clair ?

[invite77345a2d]

Déduire toutes les fonctions g vérifiant H. Cela veut dire qu'il faut faire une sorte de synthèse des deux questions précédentes comme tu l'as fait au dessus? Et conclure que les fonctions vérifiant H se présentent seulement sous la forme g(t)= k*e^(-0.2t)?

Mais si c'est ça, pourquoi en déduire toutes les fonctions f comme ci il y en avait plusieurs?

[invite427a7819]

Bah, il y en a plusieurs, puisqu'il y en a une pour chaque k réel !

Et ce n'est pas seulement que les fonction vérifiant (H) sont de cettes forme, c'est qu'en ayant toutes les fonctions de cette forme, on a aussi toutes les fonctions qui vérifient la relation (H) - c'est un peu plus complet.

[invite77345a2d]

Donc il faut que je dise que pour tout réel k, toutes fonctions de forme g vérifient H?

[invite427a7819]

Bah... Oui, certes, mais tu l'as déjà dit en répondant à la question a). La question c) sert juste à résumer les deux questions précédentes, en fait.

[invite77345a2d]

Ah d'accord. Merci beaucoup pour ton aide mais puis-je me permettre de t'embêter encore un peu avec la deuxième partie?

2/ a) Ici je pense qu'il faut utiliser le théorème suivant "Il existe une unique fonction vérifiant f=f' et f(0)=1 on appelle cette fonction fonction exp."

Il faut démontrer l'unicité de la fonction.
On suppose qu'il existe 2 fonctions exp et g avec (exp)'=exp et exp(0)=1; g'=g et g(0)=1
On considère la fonction c avec c(t)=g(t)/exp(t) est dérivable car g et exp sont dérivables et exp(t) ne vaut pas 0.

c'(t)=(g'(t)*exp(t)-g(t)*exp'(t))/(exp(t))²
=(g(t)exp(t)-g(t)exp(t))/(exp(t))²
= 0/(exp(t))² = 0
donc c est une fonction constante.

c(0)=g(0)/exp(0)= 1/1 = 1
donc c(t)=1
g(t)/exp(t)=1
Donc g(t) = exp(t) d'où l'unicité.

Est-ce correct pour la partie démontrer?

Ensuite pour la déterminer il faut refaire comme dans la première partie?

[invite427a7819]

Hum, oui, plutôt que "exp(t) ne vaut pas 0", il vaudrait mieux dire "exp ne s'annule pas", mais bon.

Ceci dit, c'est certes une sympathique démonstration, mais elle n'a pas grand rapport avec la question posée... D'abord parce que l'équation (E) n'est pas celle que tu as, toi, proposée dans ce message, mais surtout parce qu'on te demande de chercher une fonction constante...

Un peu plus de réflexion me semblerait approprié.

[invite77345a2d]

On demande de démontrer qu'une seule fonction constante

Donc je m'étais dis qu'avec cela j'avais démontrer le "une seule" mais également qu'elle soit "constante"

[invite427a7819]

Nope, il y a plus d'une fonction solution (comme indiqué dans les questions suivantes), mais une seule d'elles est constante. Si tu te donnes une fonction f solution, et ajoutes comme hypothèse qu'elle est constante, cela te permet d'avoir une version plus simple de l'équation et donc de la résoudre (dans ce cas particulier).

[invite77345a2d]

f serait donc f(t)=c*e^(-0.2(t-20)) ?

[invite427a7819]

Tu ne te bases sur aucun argument pour affirmer cela ?

Je reprends mon conseil : ne panique pas, prends les questions une à une. Cette fonction n'est pas constante, ce ne peut pas être la réponse à la question 2a).