Fonction W de Lambert - Calcul différentiel

[The_Anonymous]

Bonsoir à tous

J'ai une équation à résoudre, qui tient en 5 caractères, mais qui pourtant me cause bien des ennuis x) Il s'agit, , de l'équation .
Il faut trouver pour quelles valeurs de l'équation admet une autre solution que (bien évidemment, sinon ça aurait été trop facile ). Il y a une indication qui d'étudier la croissance de la fonction .

Je suis plus que perturber par cette indication... J'imagine que cela servira au bout d'un moment quand on aura un peu transformé l'équation.

Je l'ai déjà fait au cas où, on a que , que (asymptote verticale en ), on calcule la dérivée qui est . On a que est un maximum (global) (). On a encore que , donc est décroissante sur et que est croissante sur .

Je crois que j'ai tout dit ^^

Maintenant, en essayant de résoudre mon équation, je commence ainsi :

(je sous-entends que ).
Mais ensuite, je ne sais pas comment continuer...

Comme je suis beaucoup trop curieux, j'ai cherché la solution sur W|A qui m'a donné en plus de l'autre solution .

Je vois bien alors que l'indication n'est pas là pour rien, puisque je retrouve la fonction dans le résultat que je peux supposer.

Le seul problème, c'est que je ne sais pas du tout comment y arriver, et aussi que nous n'avons pas vu cette fonction en cours.

Je pense qu'il faut exprimer le résultat autrement, mais comme apparemment, je n'arriverai à poser si et seulement si , ça me parait mal barré (surtout que je pense que W|A l'aurait exprimé autrement alors).

Mais comment trouver cette solution alors ?

(Sinon, bien que dans mon énoncé il y ait marqué "les valeurs de ", je ne vois pas quelle autre valeur on pourrait trouver... Je pense qu'il y a uniquement 2 solutions dont 1 donnée dans l'énoncé et l'autre que je dois trouver).

Merci d'avance pour tous les conseils que vous pourrez me donner!

Cordialement
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[Tryss]

L'équation initiale se réécrit, en passant au logarithme

C'est à dire, en notant ,

Maintenant, grâce à l'étude de , tu peux facilement déterminer le nombre de solutions en fonction de la valeur de c (et par suite, de celle de a, en travaillant un peu)

[The_Anonymous]

L'équation initiale se réécrit, en passant au logarithme

C'est à dire, en notant ,

Maintenant, grâce à l'étude de , tu peux facilement déterminer le nombre de solutions en fonction de la valeur de c (et par suite, de celle de a, en travaillant un peu)

Bonsoir,

Merci beaucoup pour votre réponse bien constructive!

J'ai en effet (après peut-être un peu trop de réflexions ^^) pu trouver l'équivalence :

.

Mais ensuite, je ne suis pas sûr de voir juste.

Quand on pose , si on fait varier (j'ai pensé que ), par exemple si je prends , par mon étude de , je vois que c'est la seule racine de la fonction.
Alors cela veut dire que , donc que , et donc il n'y a aucune solution (à part ). Mais si je prends , alors pareillement l'équation n'aura aucune solution.

:Réfléchis: ... :Réfléchis: ... :Réfléchis:

Donc, on cherche la pente tangente d'équation à la courbe pour déterminer le maximum de .
Comme on avait calculer le maximum de , on peut affirmer que l'équation aura une autre solution quand , c'est-à-dire que les valeurs de recherchées ne sont autres que .

Est-ce correct? Le résultat est-il correct et est-ce que ma démarche est correcte/suffisante ?

Merci d'avance pour toutes vos réponses

Cordialement

[The_Anonymous]

Bonsoir,

Merci beaucoup pour votre réponse bien constructive!

J'ai en effet (après peut-être un peu trop de réflexions ^^) pu trouver l'équivalence :

.

Mais ensuite, je ne suis pas sûr de voir juste.

Quand on pose , si on fait varier (j'ai pensé que ), par exemple si je prends , par mon étude de , je vois que c'est la seule racine de la fonction.
Alors cela veut dire que , donc que , et donc il n'y a aucune solution (à part ). Mais si je prends , alors pareillement l'équation n'aura aucune solution.

:Réfléchis: ... :Réfléchis: ... :Réfléchis:

Donc, on cherche la pente tangente d'équation à la courbe pour déterminer le maximum de .
Comme on avait calculer le maximum de , on peut affirmer que l'équation aura une autre solution quand , c'est-à-dire que les valeurs de recherchées ne sont autres que .

Est-ce correct? Le résultat est-il correct et est-ce que ma démarche est correcte/suffisante ?

Merci d'avance pour toutes vos réponses

Cordialement

Après de plus amples réflexions, je trouve plutôt que c > e donc 0 < a < e, car si a=e, alors il n'existera qu'une seule solution, x=a.

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[The_Anonymous]

(Désolé pour le troisième message d'affilé)

Après révision :S

On trouve c > e, donc ln(a)/a = c > e, donc a < ln(a)/e.

Je dirais donc que les valeurs de a sont ] ln(a)/e ; + oo [

Re-Re-Cordialement

[Tryss]

Hum, il y a des erreurs. Trace la courbe de la fonction, ça serra beaucoup plus clair dans ta tête

La fonction f(x) = ln(x)/x est continue sur R+*, strictement croissante sur ]0,e], strictement décroissante sur [e,+oo[, a pour limite -oo en 0 et 0 en +oo.

Donc, l'équation a deux solutions si , c'est à dire

Et on voit facilement que cet ensemble, c'est

[sylvainc2]

Si on revient à la fonction W, on sait que W(k) a deux valeurs réelles si -1/e < k < 0. L'équation x^a=a^x s'écrit

x= (-a/ln(a)) W( -ln(a)/a )

donc elle a deux solutions si -1/e < -ln(a)/a < 0. Si je me trompe pas c'est vrai pour a > 1 sauf a=e.

L'équation peut même avoir 3 solutions si a est un entier pair. Par exemple x^2=2^x a les solutions évidentes x=2 et x=4 mais aussi x=-0.76666.... Mais dans ces cas-là je pense que x est toujours négatif donc ça n'entre pas dans le domaine de la question qui est R+. Cette 3e valeur est donnée par la solution de x= (-a/ln(a)) W( ln(a)/a ) , ie on change le signe dans W().

[The_Anonymous]

Hum, il y a des erreurs. Trace la courbe de la fonction, ça serra beaucoup plus clair dans ta tête

La fonction f(x) = ln(x)/x est continue sur R+*, strictement croissante sur ]0,e], strictement décroissante sur [e,+oo[, a pour limite -oo en 0 et 0 en +oo.

Donc, l'équation a deux solutions si , c'est à dire

Et on voit facilement que cet ensemble, c'est

Bonsoir,

Effectivement, j'ai fait pas mal d'erreurs (faute de frappe entre autre), merci pour votre réponse

Je trouve comme vous que .

Et je vois pourquoi on doit seulement exclure a=e : en regardant l'axe des abscisses, il n'y a que pour a=e que f(e) n'aura que e comme pré image (j'espère que vous comprenez et que j'exprime correctement) (je sous-entends a réel strictement positif).

Cela nous donne bien évidemment l'ensemble .

Merci pour vos explications

Si on revient à la fonction W, on sait que W(k) a deux valeurs réelles si -1/e < k < 0. L'équation x^a=a^x s'écrit

x= (-a/ln(a)) W( -ln(a)/a )

donc elle a deux solutions si -1/e < -ln(a)/a < 0. Si je me trompe pas c'est vrai pour a > 1 sauf a=e.

L'équation peut même avoir 3 solutions si a est un entier pair. Par exemple x^2=2^x a les solutions évidentes x=2 et x=4 mais aussi x=-0.76666.... Mais dans ces cas-là je pense que x est toujours négatif donc ça n'entre pas dans le domaine de la question qui est R+. Cette 3e valeur est donnée par la solution de x= (-a/ln(a)) W( ln(a)/a ) , ie on change le signe dans W().

Merci pour vos éclaircissements sur cette fonction. Je me réjouis de la découvrir

Cordialement

[The_Anonymous]

Cela nous donne bien évidemment l'ensemble .

Bien évidemment... Hum Hum

Après avoir regarder encore un petit moment et surtout après avoir aperçu la petite (pas si petite ^^) contradiction entre Tryss et sylvainc2, je dirais alors que l'ensemble est , car pour f(a) avec a entre 0 et 1, la fonction n'admet qu'une seule pré image (je sais pas si c'est juste, mais disons de valeurs y telles que f(y)=f(a)).

Cordialement ^^