fonctions dérivées

[dodo71]

Bonjour,
Pour avoir une approche plus concrète des fonctions dérivées, qui sont des fonctions représentant le coefficient directeur de la tangente d'une fonction (la primitive de la dérivé donc) pour chaque valeur x qu'elle peut prendre(sauf ,eventuellement, en quelque, points, si le coefficient directeur à pour valeur plus ou moins l'infini même si ma phrase est pas très juste peut être pouvez vous trouver des mots plus juste pour expliquer que en certains points, une fonction n'est pas dérivables).

Si on trace la fonction qui associe pour chaque valeur de x la valeur du coefficient directeur de la tangente à la fonction (disons f) en ce point, on trouve ce qu'on appelle la fonction dérivé f' associé à la fonction f.

Maintenant ce que j'aimerais savoir c'est si il existe un cas générale, une formule générale pour trouver les dérivées des fonctions usuelles(je précise c'est pour la 1ere ES), car je trouve que ce n'est pas très intuitif pédagogiquement parlant de devoir apprendre les dérivées usuelles comme ça sans savoir vraiment pourquoi.
De même, certes je sais que la dérivé sert à décrire les variations du coefficient directeur des tangentes en tt points de f, et donc finalement donner l'évolution général de cette fonction f. Mais pourquoi est ce ainsi(la question est compliqué car personnellement je me suis jamais posé la question, j'ai toujours fait sans réfléchir à celà)

Merci de vos réponses
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[m236m]

Bonjour,

Je vais essayer d'apporter quelques éléments de réponse.

Tout d'abord, toutes les fonctions usuelles ne se dérivent pas de la même manière. Les règles à appliquer diffèrent en fonction du type de fonction. Par exemple on a la règle nx^(n-1) pour les puissances de x. Tu trouves toutes le règles dans ton cours normalement!
Après si ta question est par exemple pourquoi la dérivée de ln(x) est 1/x... Je ne suis pas sûr de pouvoir apporter une réponse correcte. Je pense que ça a été défini comme ça, il fallait trouver une primitive à 1/x et on l'a appelée ln (corrigez moi si je raconte n'importe quoi).

Pour la partie "mais pourquoi est-ce ainsi?", il faudrait que tu explicites un peu plus ce que tu veux dire... Pourquoi la dérivée donne le coeff directeur de la tangente en un point de la fonction? Le plus simple (à mon avis) est de regarder sur un schéma en repartant de la définition du taux d'accroissement d'une fonction: (f(x) - f(a)) / (x-a) quand x tend vers a. Trace une fonction quelconque, trace la droite (f(x) - f(a)) / (x-a) et fait tendre x vers a petit à petit. Tu verras que tu dessines au final la tangente de f en a. Et la valeur que tu trouves est le coeff directeur de la tangente.

J'espère avoir plus ou moins répondu à ta question!

[dodo71]

Oui la question est plutot il y a il une formule général pur trouver les dérivées de fonctions usuelles par exmple(moi je les connais pas coeur mais je ne suis pas en première . Mes questionnements sont dans le but d'aider un première qui a des difficultés avec ses notions et donc de coller le plus possible à quelque chose de concret donc je vais passer par la physique aussi ça me semble interessant).

merci

[gg0]

Non, Dodo71,

pas de formule générale, mais on a des formules pour tout type de calcul. Il sufit de les apprendre, et de décoder le calcul qui donne la fonction.

Ta formulation intuitive du premier message me semble assez pédagogique (c'est une façon d'introduire les dérivées sans utiliser les limites). Elle ne permet pas, par contre, de démontrer les formules, sauf une ou deux.
Une illustration par la vitesse (intantannée) d'un mobile qui va en ligne droite peut aussi donner des pistes de compréhension.

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

A noter :

La non dérivabilité est (intuitivement) soit la tangente verticale, soit pas de tangente. Il existe des courbes continues n'ayant aucune tangente (courbe de Von Koch).

[dodo71]

Non, Dodo71,

pas de formule générale, mais on a des formules pour tout type de calcul. Il sufit de les apprendre, et de décoder le calcul qui donne la fonction.

Ta formulation intuitive du premier message me semble assez pédagogique (c'est une façon d'introduire les dérivées sans utiliser les limites). Elle ne permet pas, par contre, de démontrer les formules, sauf une ou deux.
Une illustration par la vitesse (intantannée) d'un mobile qui va en ligne droite peut aussi donner des pistes de compréhension.

Cordialement

merci de ta réponse, lorsque tu dis

Ta formulation intuitive du premier message me semble assez pédagogique (c'est une façon d'introduire les dérivées sans utiliser les limites). Elle ne permet pas, par contre, de démontrer les formules, sauf une ou deux.

quelle serait ta méthode pour présenté(dans un deuxieme temps ) la dérivé avec la notion de limite ? et donc finalement en arriver à la définition ?
Et par contre qu'entends-tu par "elle ne permets pas de démontrer les formules " ? tu parles des formules sur les limites usuelles ? comment t'y prendrais tu alors ?

Merci encore

[dodo71]

Je pense demander à l'éleve comment on calcule le coef d'accroissement d'une fonction affine(et donc d'une tangente) avant de lui dire que 'lon va calculer ,en se raprochant de plus en plus du point a désiré(c'est pour la dérivé en un point là l'explication bien sur), les valeurs du coefficient directeur de la tangente.d'ou comme il y a une infinité de valeur, on fait tendre x vers a...
Enfin je comprends quand même que ça puisse être délicat pour des étudiants "terre à terre" et j'ai un peu de mal à expliqué et à faire comprendre pourquoi on se doit de passer par la limite x->a en fait je crois...

Merci encore

[gg0]

En fait, c'est le passage de la sécante à la tangente qui est une sécante limite lorsque les deux points se rejoignent.
Soit l'élève entre dans le jeu, et ce sera simple pour lui, soit il ne le fait pas, et balors bon courage ! Dans la mesure ou, au fond, il refuse le jeu, tu peux bien expliquer les règles comme tu veux, ça ne sert à rien.
Après, s'il est participatif, tu veras à répondre à ses questions.

Cordialement.

[dodo71]

en fait je me souviens aussi que durant mes années de lycée j'ai aussi eu du mal à comprendre pourquoi il y a cette limite f(x)-f(a)/x-a evidemment si elle n'y était pas on ne pourrait pas trouver de résultat mais je ne me suis jamais expliqué concrètement le pourquoi. Je l'ai admis mais je crois qu'aujourd'hui ses vieux démons resurgissent pour à mon tour l'expliquer lol

[gg0]

Effectivement,

parfois on n'écoute pas le prof et on fait bêtement ce qu'il dit... Alors qu'en écoutant bien les raisons des calculs, c'est souvent évident, comme ici !

Cordialement.

[PlaneteF]

Bonsoir,

f(x)-f(a)/x-a

Ce que tu écris est égal à :


Cdt