Problème Spé Maths Divisibilité
Bonsoir à tous !
Bon voilà, j'ai un problème à résoudre sur un DS de mon prof de maths spé, et j'avoue que je suis totalement dépourvue:
" Montrer que l'on peut trouver un entier de 2012 chiffres divisible par 2^2012 qui s'écrive seulement avec les chiffres 1 et 2."
Tout cela, bien sûr, sans la calculatrice.
Merci de votre aide !
Bonjour.
Peut-être avec le principe des tiroirs, car des nombres de 2012 chiffres divisibles par 2^2012, il y en a un sacré paquet. Mais je ne vois pas le rapport avec les chiffres de l'écriture.
Cordialement.
bonjour,
plutôt hard pour un exercice de lycée.
je suis sur 2 pistes:
une recurrence ( 112=14*2^3 ; 2112=132*2^4, ..)
l'ecriture du nombre comme suite de 1 + nombre ne contenant que des 0 et des 1
la seconde approiche revient à essayer de l'ecrire en base 2
oui, mais qui ne s'ecrivent qu'avec des 1 ou des 2, c'est autre chose.Envoyé par gg0
une seule solution pour 2^3 tout comme 2^4 !! par exemple.
j'essaye tj, car le pb est à la hauteur du pseudo initiateur du fil
je remarque que:
le nb de combinaison de nombre constitué de n chiffres 1 et de 2 est justement egal à 2^n ( (1+1)^n )
que ces nb sont compris entre 11111..11 et son double
si N est le nb de n chiffre de 1 alors N(n)/N(n-1) tend vers 5
j'en suis là, j'avance à petits pas !
plus précisement on a donc :
2^n nombres compris entre (10^(n+1)-1)/9 et son double.
reste à montrer que l'un d'entre eux divise 2^n !
je reviens dessus tardivement, mais je suis tombé par hasard sur mon vieux brouillon, et j'ai trouvé un truc.
par récurrence!
12=3*2^2
112=14*2^3 , bon OK pour l'initialisation
soit maintenant N(n) (nombre à n chiffres (1 ou 2))=k*2^n
je ne fais un choix qu'entre deux possibilités ( en ajoutant un 1 ou un 2 devant uniquement )
N1(n+1)=10^(n)+N(n) ou
N2(n+1)=2*10^(n)+N(n)
les deux solutions comportent bien n+1 chiffres ( uniquement composés de 1 et de 2 )
N1=5^n*2^n +k*2^n
N2=2*5^n*2^n +k*2^n
or soit 5^n est pair soit 2*5^n
donc en fonction du signe de k ( pair ou impair )
une des sommes 5^n+k ou 2*5^n+k est paire =2*k' d'où
N1 ou N2 = k'*2^(n+1)
Joli !
Cordialement.
je corrige juste un mal dit :
il fallait évidemment comprendre 5^n tj impair et 2*5^n tj pair.
donc on choisi l'un ou en fct de la parité de k.
