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Problème Spé Maths Divisibilité



  1. #1
    Funny33

    Lightbulb Problème Spé Maths Divisibilité

    Bonsoir à tous !

    Bon voilà, j'ai un problème à résoudre sur un DS de mon prof de maths spé, et j'avoue que je suis totalement dépourvue:

    " Montrer que l'on peut trouver un entier de 2012 chiffres divisible par 2^2012 qui s'écrive seulement avec les chiffres 1 et 2."

    Tout cela, bien sûr, sans la calculatrice.

    Merci de votre aide !

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    gg0

    Re : Problème Spé Maths Divisibilité

    Bonjour.

    Peut-être avec le principe des tiroirs, car des nombres de 2012 chiffres divisibles par 2^2012, il y en a un sacré paquet. Mais je ne vois pas le rapport avec les chiffres de l'écriture.

    Cordialement.

  4. #3
    ansset

    Re : Problème Spé Maths Divisibilité

    bonjour,
    plutôt hard pour un exercice de lycée.
    je suis sur 2 pistes:
    une recurrence ( 112=14*2^3 ; 2112=132*2^4, ..)
    l'ecriture du nombre comme suite de 1 + nombre ne contenant que des 0 et des 1
    Dernière modification par ansset ; 24/11/2013 à 11h36.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  5. #4
    ansset

    Re : Problème Spé Maths Divisibilité

    la seconde approiche revient à essayer de l'ecrire en base 2
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  6. #5
    ansset

    Re : Problème Spé Maths Divisibilité

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Bonjour.

    Peut-être avec le principe des tiroirs, car des nombres de 2012 chiffres divisibles par 2^2012, il y en a un sacré paquet.
    Cordialement.
    oui, mais qui ne s'ecrivent qu'avec des 1 ou des 2, c'est autre chose.
    une seule solution pour 2^3 tout comme 2^4 !! par exemple.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    ansset

    Re : Problème Spé Maths Divisibilité

    j'essaye tj, car le pb est à la hauteur du pseudo initiateur du fil

    je remarque que:
    le nb de combinaison de nombre constitué de n chiffres 1 et de 2 est justement egal à 2^n ( (1+1)^n )
    que ces nb sont compris entre 11111..11 et son double
    si N est le nb de n chiffre de 1 alors N(n)/N(n-1) tend vers 5
    j'en suis là, j'avance à petits pas !
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

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  10. #7
    ansset

    Re : Problème Spé Maths Divisibilité

    plus précisement on a donc :
    2^n nombres compris entre (10^(n+1)-1)/9 et son double.
    reste à montrer que l'un d'entre eux divise 2^n !
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  11. #8
    ansset

    Re : Problème Spé Maths Divisibilité

    je reviens dessus tardivement, mais je suis tombé par hasard sur mon vieux brouillon, et j'ai trouvé un truc.
    par récurrence!
    12=3*2^2
    112=14*2^3 , bon OK pour l'initialisation

    soit maintenant N(n) (nombre à n chiffres (1 ou 2))=k*2^n
    je ne fais un choix qu'entre deux possibilités ( en ajoutant un 1 ou un 2 devant uniquement )
    N1(n+1)=10^(n)+N(n) ou
    N2(n+1)=2*10^(n)+N(n)
    les deux solutions comportent bien n+1 chiffres ( uniquement composés de 1 et de 2 )
    N1=5^n*2^n +k*2^n
    N2=2*5^n*2^n +k*2^n
    or soit 5^n est pair soit 2*5^n
    donc en fonction du signe de k ( pair ou impair )
    une des sommes 5^n+k ou 2*5^n+k est paire =2*k' d'où
    N1 ou N2 = k'*2^(n+1)
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  12. #9
    gg0

    Re : Problème Spé Maths Divisibilité

    Joli !

    Cordialement.

  13. #10
    ansset

    Re : Problème Spé Maths Divisibilité

    je corrige juste un mal dit :

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    or soit 5^n est pair soit 2*5^n
    donc en fonction du signe de k ( pair ou impair )
    une des sommes 5^n+k ou 2*5^n+k est paire =2*k'
    il fallait évidemment comprendre 5^n tj impair et 2*5^n tj pair.
    donc on choisi l'un ou en fct de la parité de k.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

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