Aide dérivation d'une fonction

[inviteb254dcfc]

Bonjour à tous !
Alors voilà pendant ces vacances, je travaille sur mon TPE. Il y a une loi assez importante que j'aimerais démontrer: la loi de Snell-Descartes. La démonstration est assez simple mais le problème c'est qu'à un moment on dérive 2 fonctions et là je bloque :/ Pour le moment, on a juste vu comment dériver un point d'une fonction et du coup j'ai chercher un peu dans certains cours en ligne mais les formules pour dériver ne correspondent pas vraiment aux deux fonctions que j'ai.
La première: qu'on dérive en
La deuxième est pratiquement la même mais si vous pouviez m'expliquer comment on passe de T1 à T'1, ça m'aiderait beaucoup
Merci !

PS: Le but est que T(x) soit minimum et il est dit que ce minimum est atteint lorsque sa dérivée par rapport à x est nulle (je ne sais pas trop ce que cela veut dire mais ça pourra peut-être vous aider)
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[invite8d4af10e]

Bonjour
sqrt désigne la fonction racine carrée
pour passer de T1 à T1' il suffit de dériver/x
à utiliser avec u(x)>=0
(sqrt(u(x))' =u'(x)/2sqrt(u(x)) sans ton cas u(x) vaut quoi ?

[invite2c46a2cb]

Bonjour NoNo !

Pour le moment, on a juste vu comment dériver un point d'une fonction [...]

Oula, j'espère pas.
Ce qui se dérive, ce sont des fonctions, et non des points, ou des nombres, ou je ne sais quoi.. Tu as donc appris à dériver une fonction tout court, ou alors à dériver une fonction en un point d'une abscisse donnée, rien d'autre..

La deuxième est pratiquement la même mais si vous pouviez m'expliquer comment on passe de T1 à T'1, ça m'aiderait beaucoup

Il faut que tu saches que la dérivée de , (où est une fonction positive et dérivable sur l'intervalle en question) est simplement :

Du coup, pour ta fonction :


On peut poser (je développe l'identité remarquable pour que tu comprennes bien, mais en principe on fait tout d'un trait).

Et donc en déduire : (les constantes et disparaissent en dérivant)

Et la dérivée finale sera donc :



soit :
en simplifiant par 2.

Et on retrouve .

PS: Le but est que T(x) soit minimum et il est dit que ce minimum est atteint lorsque sa dérivée par rapport à x est nulle (je ne sais pas trop ce que cela veut dire mais ça pourra peut-être vous aider)

Tu verras sûrement la démonstration plus tard, mais en attendant, c'est assez intuitif. Il est important de comprendre la relation variation de la fonction / signe de la dérivée. En effet, lorsque ta dérivée est strictement positive (respectivement négative), ta fonction va être strictement croissante (respectivement décroissante), et lorsque ta dérivée est nulle, et bien ta fonction admet un extremum (minimum, ou maximum).

Pour te le faire intuiter, tu peux prendre par exemple la fonction carrée, avec sa belle parabole, tu te places devant son graphe, tu prends ta règle, et avec elle, tu essayes de simuler les tangentes tout le long de la courbe.
Sachant que la dérivée d'une fonction au point d'abscisse est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse , tu remarques que sur l'intervalle , toutes tes tangentes auront une pente négative ("la règle est penchée comme ça : \"), que la dérivée est donc négative, et que la fonction est décroissante. Ça marche de la même manière pour l'intervalle , mais cette fois si la règle est penchée de l'autre côté, la dérivée positive, et la fonction croissante.
Enfin, ta règle sera parfaitement horizontale (et donc la pente / le coefficient directeur nul, ainsi que la dérivée) au point d'abscisse 0. La fonction admet donc un "extremum" (il peut y'en a voir plusieurs) au point d'abscisse 0. Ici, c'est un minimum (il peut y en avoir plusieurs également).

Du coup, en revenant à ton problème, atteindra son minimum (et non , qui est un nombre, et non une fonction) à un point d'abscisse vérifiant .
Par contre, attention : "Le minimum de est atteint au point d'abscisse " est vrai.
Mais : " Le minimum de est atteint au point d'abscisse " est faux !

En effet, si , alors on peut juste dire que admet un extremum au point d'abscisse . Mais ça peut être un maximum, ou un minimum qui n'est pas forcément LE minimum de la fonction (si tu vois ce que je veux dire, je sais pas si je suis clair..)

En physique, on sera parfois un petit peu moins rigoureux, et à la question "déterminer l'abscisse du minimum / maximum de telle fonction", si on trouve un seul nombre vérifiant , alors on pourra dire dire que est cette abscisse, sans plus de justification.

Voilà, en espérant t'avoir fait un peu mieux comprendre cette notion..

Bonne chance pour tes TPE ! Hésite pas pour les questions.

[inviteb254dcfc]

Merci à vous deux, l'exemple de la fonction carrée m'a bien aidé !
Pour l'info on a seulement appris comment dériver une fonction en un point d'une abscisse donnée, les formules avec u, u' et tout, on n'a pas encore vu

[A voir en vidéo sur Futura]