Dm Fonction / derivation

[invitec911ae32]

Bonjour ,
j'ai un doute à la question 3) a) .... si quelqu’un peut m'aider s'il vous plait.

On considére les fonctions f et g définies sur ]-1,+inf[ par :
f(x) = racine carré(x+1) g(x)= 1 + x/2 - x²/8

1) calculer F(0) et g(0) . Je trouve 1 pour les 2.

2) Démontrer que les courbes représentatives des ces 2 fonctions admettent la même tangente T au point A d'abscisse 0 dont on donnera une équation.
j'ai calculer l’Équation de la tangente au point d'abscisse 0 pour les 2 fonctions : je trouve la même c'est à dire Y=(1/2)x+1

3) On considère la fonction d définie sur ] -1; + inf [ par :

d(x)=f(x)-g(x)

a) Démontrer que d est dérivable sur [-1;+inf [ et que sa dérivée est :

d'(x)=(2+(x-2)√(x+1))/(4√(x+1))

J'arrive à trouver la dérivée en faisant d'(x)=f'(x)-g'(x) mais pour la dérivabilité je sais si il faut calculer la limite du taux d'accroissement ou bien juste dire que c'est la soustraction de 2 fonction respectivement Racine carré et polynôme inverse ?

b) étudier sur l'intervalle ]-1; + inf[ les variations de la fonctions h , définie par :
h(x)= 2 + (x-2)√(x+1)

c) En déduire que pour tout réel de ]-1;+inf[ d'(x)>=0

4) Démontrer que limite de (√(x+1))/x²=0 lorsque x tend vers + inf puis calculer la limite en inf de la fonction d .
5) Dresser le tableau de Variations de la fonction d.En déduire les positions relatives des courbes Cf et Cg représentatives des fonctions f et g.

Merci d'avance pour votre aide.
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[invite8d4af10e]

Bonjour
revérifie g(0) , quand tu écris F(x) est ce la même chose que f(x) ?
c'est quoi que tu trouves comme dérivée pour f et g ?

[invite8d4af10e]

Edit
j'ai mal lu ta réponse pour g(0) , je suis désolé , j'ai cru g(0)=2 , non c'est bon ce que tu as trouvé .

[invitec911ae32]

1) calculer F(0) et g(0) . Je trouve 1 pour les 2.

c'est f(0) désole

Bonjour
revérifie g(0) , quand tu écris F(x) est ce la même chose que f(x) ?
c'est quoi que tu trouves comme dérivée pour f et g ?

g(0)= 1+ 0/2 - 0²/8 = 1

pour les dérivé de ses 2 fonctions je trouve

f'(x)= 1/(2√(x+1)
g'(x)= 1/2 - 2x/8

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8d4af10e]

f'(x)= 1/(2√(x+1)
g'(x)= 1/2 - 2x/8

f'(x)= 1/(2√(x+1) =>ok
g'(x)= 1/2 - 2x/8 =1/2-x/4 car 2/8=1/4
= 1/2(x-1/2) en mettant 1/2 en facteur
il ne reste plus qu'à faire f'(x)-g'(x)=1/(2√(x+1) -1/2(x-1/2)=1/2(......................)

[invitec911ae32]

j'ai trouvé sa mais je sais comment prouver la dérivabilité sur l'intervalle ]-1,+inf[
je dis que comme c'est la soustraction de 2 fonctions racine carré et Polynôme alors c'est dérivable ou bien j'utilise la définition du nombre dérivé en -1 ?

edit En faisant f'(x)-g'(x) je trouve bien D"(x)

[invite8d4af10e]

sqrt : racine carrée
je croyais que tu coinçais dans le calcul , c'est pour ça . pour la dérivabilité sqrt(x+1) est dérivable sur ]-1,+00[ car la dérivée de sqrt(x+1) =1/2sqrt(x+1) , or x ne peut prendre la valeur -1 car sinon "1/0"
pour le polynôme , il est dérivable partout .

[invite8d4af10e]

es tu bloqué ailleurs ?

[invitec911ae32]

j'ai écrit : comme la fonction f est dérivable sur ]-1;+inf[ et g(x) dérivable sur R ( polynôme ) alors d(x) ,étant la soustraction de ces 2 fonctions est dérivable sur ]-1;+inf[.


pour la 3)b

je calcule la dérivé de h(x) = 2+(x-2)*sqrt(x+1) je trouve (x-2)/(2*sqrt(x+1)) mais un doute ... je trouve pas la même chose avec xcas

[invite8d4af10e]

je ne connais pas xcas .
la dérivée de (x-2) tu la connais et la dérivée de sqrt(x+1) tu l'as calculée plus haut
comme c'est un produit donc (uv)'=u'v+uv' .

[invitec911ae32]

h(x) = 2+ (x-2)*sqrt(x+1)

u(x)=x-2 u'(x)=1
v(x)= sqrt(x+2) v'(x)=1/(2*sqrt(x+1)

h'(x)=sqrt(x+1)+(x-2)/(2*sqrt(x+1))
=((2*sqrt(x+1)*sqrt(x+1))+(x+2 ))/(2*sqrt(x+1))
=3x+4/(2*sqrt(x+1))

[invite8d4af10e]

h(x) = 2+ (x-2)*sqrt(x+1)

u(x)=x-2 u'(x)=1
v(x)= sqrt(x+2) v'(x)=1/(2*sqrt(x+1)

h'(x)=sqrt(x+1)+(x-2)/(2*sqrt(x+1))
=((2*sqrt(x+1)*sqrt(x+1))+(x+2))/(2*sqrt(x+1))
=3x+4/(2*sqrt(x+1))

revérifie ton calcul
en gras je pense que c'est une faute de frappe et sqrt(x+1)*sqrt(x+1) = ?

[invitec911ae32]

h(x) = 2+ (x-2)*sqrt(x+1)

u(x)=x-2 u'(x)=1
v(x)= sqrt(x+1) v'(x)=1/(2*sqrt(x+1)

h'(x)=sqrt(x+1)+(x-2)/(2*sqrt(x+1))
=((2*sqrt(x+1)*sqrt(x+1))+(x+2 ))/(2*sqrt(x+1))
=3x+4/(2*sqrt(x+1))

sqrt(x+1)*sqrt(x+1) = ?

x+1

[invitec911ae32]

Sur l'intervalle ]-1;+inf[ , la fonction H sera Strictement croissante Car sa dérive sur cette intervalle est toujours positive selon le principe de Lagrange

[invite8d4af10e]

h'(x)=sqrt(x+1)+(x-2)/(2*sqrt(x+1))
=((2*sqrt(x+1)*sqrt(x+1))+(x+2 ))/(2*sqrt(x+1))
=3x+4/(2*sqrt(x+1))

explique comment tu as fait pour avoir 3x
normalement sqrt(x)*sqrt(x)=|x|
la dérivée je ne trouve pas comme toi

[invitec911ae32]

=((2*sqrt(x+1)*sqrt(x+1))+(x+2 ))/(2*sqrt(x+1))
=((2*(x+1)+(x+2)/(2*sqrt(x+1)
=((2x+2+x+2)/(2*sqrt(x+1)
=((3x+4)/(2*sqrt(x+1)

[invite8d4af10e]

h(x)= 2 + (x-2)√(x+1)
(2)'=0 , (x-2)'=1 et (sqrt(x+1))'=1/2sqrt(x+1) tu es d'accord ?
h'(x)=0+1*sqrt(x+1)+(x-2)/2sqrt(x+1)
je te laisse finir

[invitec911ae32]

h'(x)=0+1*sqrt(x+1)+(x-2)/2sqrt(x+1)
=((sqrt(x+1)*2*sqrt(x+1))+(x-2))/2sqrt(x+1)
=((2*(|x+1|)+(x-2))/2sqrt(x+1)

sur l'intervalle ]-1;+inf[
|x+1|=x+1

=((2x+2+x-2)/2sqrt(x+1)
=3x/2sqrt(x+1)

j'ai bon ?

[invite8d4af10e]

oui c'est bon , je ne sais pas comment tu as fait plus haut pour avoir le résultat que tu as trouvé . as tu trouvé ton erreur ?

[invitec911ae32]

oui c'est bon , je ne sais pas comment tu as fait plus haut pour avoir le résultat que tu as trouvé . as tu trouvé ton erreur ?

erreur de signe

x+2 au lieu de x-2

[invite8d4af10e]

il y a un souci avec la question 3)c car comme tu vois le signe de h'(x) dépend de quoi à ton avis sur ]-1;+00[ avec h'(x)=3x/2sqrt(x+1)

[invitec911ae32]

3c) on en déduit que d'(x) >= 0 car d'(x) = h(x)/4sqrt(x+1)
h(x) est strictement croissante croissante sur l'intervalle ]-1;+inf[ et la fonction racine carré aussi

4) la Fonction x² tend plus vite vers +inf que sqrt(x+1) donc limite de sqrt(x+1)/x² lorsque x tend vers + inf est 0

car on a sqrt(x+1)<x²
sa peut être une démonstration comme sa ?
la limite en +in de la fonction d est égale à la limite de la fonction f - la limite de la fonction g vu que d(x) = f(x)-g(x) et qu'on a pas l'expression de d(x) ?

mais on a une indéterminée

lim F = +inf Lim g = +inf lim d = +inf - (+inf)
x tend vers + inf x tend vers + inf

[invitec911ae32]

il y a un souci avec la question 3)c car comme tu vois le signe de h'(x) dépend de quoi à ton avis sur ]-1;+00[ avec h'(x)=3x/2sqrt(x+1)

il dépend de 3x car sur l'intervalle ]-1;+inf[, 2sqrt(x+1) >0

[invite8d4af10e]

oui mais sur ]-1;0] 3x<=0 et si tu relis la question 3)c h'(x)>=0 sur ]-1;+inf[ ,c'est louche

[invitec911ae32]

oui mais sur ]-1;0] 3x<=0 et si tu relis la question 3)c h'(x)>=0 sur ]-1;+inf[ ,c'est louche

ce n'est pas defini en -1 nn ?

[invite8d4af10e]

peu importe , c'est le signe qui t'intéresse , il y a une erreur dans l’énoncé , ça se voit non ?
h'(x) ne peut être >=0 sur l'intervalle indiqué

[invitec911ae32]

mais d'(x)= h(x)/4sqrt(x+1)

h(-1) = 2+(-1-2)(sqrt(-1+1)=2
et h(0)= 2+(0-2)(sqrt(0+1)=0

avec le tableau de variation de h(x) je trouve que celle ci est supérieur et égale à 0
elle décroit sur l'intervalle ]-1,0] et croit sur l'intervalle [0;+inf[

[invitec911ae32]

4) la Fonction x² tend plus vite vers +inf que sqrt(x+1) donc limite de sqrt(x+1)/x² lorsque x tend vers + inf est 0

car on a sqrt(x+1)<x²
sa peut être une démonstration comme sa ?
la limite en +in de la fonction d est égale à la limite de la fonction f - la limite de la fonction g vu que d(x) = f(x)-g(x) et qu'on a pas l'expression de d(x) ?

mais on a une indéterminée

lim F = +inf Lim g = +inf lim d = +inf - (+inf)
x tend vers + inf x tend vers + inf

je peut la considérer comme une démonstration ?

[invite8d4af10e]

elle décroit sur l'intervalle ]-1,0] et croit sur l'intervalle [0;+inf[

là je suis d'accord , et je parle de h(x)

[invitec911ae32]

j'ai un problème avec la limite , je peux le démontrer que par écrit sans calcul ?