DM TS suite/intégrale/trigonométrie

[inviteb22d51ba]

Bonjour,
J'aurais besoin d'une petite aide s'il vous plait pour une question de mon dm de maths . Voici l'énoncé :

Pour tout n naturel non nul on pose In= (intégrale entre 0 et pi/4) (x^n)*(sin(2x))dx
Affirmation : La suite converge vers 1/2

J'ai fait la conjecture et je trouve :
I1= 1/4
I2=0,1427
I3=0,087
I4=0,0563
J'en conclu qu'elle est décroissante et converge vers 0 ... Et donc Majorée par 1/2 .
Alors j'ai calculé In+1-In pour prouver cette conjecture et je trouve In+1-In= (int entre 0 et pi/4) sin(2x)*((x^(n+1)-x^n)
Ainsi je cherche le signe mais c'est où je bloque en fait ...
Sur [0;pi/4] :
sin(2x)>0 et x^(n+1)-x^n>0
Ainsi, ce que je trouve est totalement incohérent puisque je cherche à prouver que In est décroissante, alors soit je me suis trompé dans le calcul soit il y a une erreur dans l'énoncé , mais je pencherais plutôt pour la première proposition même si je ne trouve mon erreur ...

Merci de votre aide !!
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[PlaneteF]

Bonjour,

Je n'ai pas fait la moindre réflexion approfondie sur ton exo faute de temps, mais en 30 secondes de lecture je peux te faire les 2 remarques suivantes :

1) Tu parles dans un premier temps de l'affirmation d'une suite qui converge vers , puis ensuite de la conjecture de cette même suite qui converge vers

2) Monter qu'une suite est décroissante ne montre en rien qu'elle converge et encore moins qu'elle converge vers .


Cordialement

[inviteb22d51ba]

Je sais , moi même je me pose cette question ! il n'y aucune logique entre l'affirmation est la suite elle même ... Je dit qu'elle converge vers 0 par conjecture et puis c'est une intégrale donc une aire est forcément positive ( l'intégrale peut être négative ) mais l'aire reste positive ... donc si elle est décroissante elle convergera vers 0 ...

[PlaneteF]

Je dit qu'elle converge vers 0 par conjecture et puis c'est une intégrale donc une aire est forcément positive ( l'intégrale peut être négative ) mais l'aire reste positive ... donc si elle est décroissante elle convergera vers 0 ...

Ce raisonnement est faux, ... déjà ton laïus sur l' "aire" est loin d'être clair , ... et ensuite si une suite est décroissante et minorée par , cela prouve que cette suite converge, mais cela ne prouve en rien qu'elle converge vers .

Cdt

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb22d51ba]

Ah bon ? nous l'avons appris comme ça en cours en fait ... En tout cas dans un ancien dm le prof la corriger en utilisant cette affirmation ....
Certes elle peut converger sur un autre nombre que 0 mais je n'est fait que conjecturer je n'est pas encore déterminer la limite... mais déjà il y a une incohérence soit dans l'énoncé soit dans ma conjecture parce que la suite ne peut converger vers 1/2 puisqu'elle est est majorée par 1/2 ... , et en plus de cela elle est décroissante ...
Donc je suis un peu perdu ...

[PlaneteF]

(...) parce que la suite ne peut converger vers 1/2 puisqu'elle est est majorée par 1/2 ... ,

Ce raisonnement là est lui aussi faux.

Cdt

[invite8fd0ee2c]

Bonjour,

Sur [0;pi/4] :
sin(2x)>0 et x^(n+1)-x^n>0

J'essai
x^(n+1)-x^n = x^n (x - 1 ) <0 sur l'intervalle

la suite ne peut converger vers 1/2 puisqu'elle est est majorée par 1/2

La suite peut être majorée par 1/2 et converger vers cette valeur si elle est admet un minimum, non?

[invitebf26947a]

De quelle suite tu parles?

[inviteb22d51ba]

Bonjour,



J'essai
x^(n+1)-x^n = x^n (x - 1 ) <0 sur l'intervalle



La suite peut être majorée par 1/2 et converger vers cette valeur si elle est admet un minimum, non?

Oui !!!! x^(n+1)-x^n = x^n (x - 1 ) <0 sur l'intervalle !!! Ah ça me débloque enfin !!! Merci !!
Je conjecture que la suite est décroissante ... Et si on calcul I0=1/2 ... Donc la suite est majorée par 1/2 et elle est décroissante ...
Donc la suite (ln) converge pas vers 1/2 mais vers une autre limite notée l (par exemple ). Je ne pense pas que dans cette exercice il est nécessaire de déterminer la limites de la suite , si ?

[PlaneteF]

Donc la suite est majorée par 1/2 et elle est décroissante ...
Donc la suite (ln) converge pas vers 1/2 mais vers une autre limite notée l (par exemple ).

Comme je te l'ai déjà indiqué précédemment , le fait que la suite soit décroissante ne te permet pas de conclure qu'elle est convergente. Et le fait qu'elle soit majorée n'y change rien.

N.B. : D'une manière générale en maths, les théorèmes et propriétés que l'on utilise ont des conditions d'applications très précises qu'il faut parfaitement connaître.

Cdt

[invited3a27037]

il me paraît étrange cet exo car pour x entre 0 et pi/4:

0 <= sin(2x) <= 1
0 <= x^n sin(2x) <= x^n

0 <= integral(0, pi/4, x^n sin(2x)dx) <= integral(0, pi/4, x^n dx)

0 <= In <= (1/(n+1)).(pi/4)^(n+1)
donc très clairement lim In -> 0 quand n tend vers +00 car pi/4 < 1

[inviteb22d51ba]

Comme je te l'ai déjà indiqué précédemment , le fait que la suite soit décroissante ne te permet pas de conclure qu'elle est convergente. Et le fait qu'elle soit majorée n'y change rien.

N.B. : D'une manière générale en maths, les théorèmes et propriétés que l'on utilise ont des conditions d'applications très précises qu'il faut parfaitement connaître.

Cdt

Je connais très bien ces propriétés et c'est sur cela que je me base :
- Une suite est convergente ssi elle est décroissante et minorée ...
Ici elle est décroissante ET MAJORÉ PAR 1/2 ... Donc forcément cette suite ne converge par vers 1/2, l'affirmation est donc fausse ...
Mais mon réel problème dans cet exo c'est de prouver que ma suite est décroissante c'est tout ...
cdt

[inviteb22d51ba]

il me paraît étrange cet exo car pour x entre 0 et pi/4:

0 <= sin(2x) <= 1
0 <= x^n sin(2x) <= x^n


0 <= integral(0, pi/4, x^n sin(2x)dx) <= integral(0, pi/4, x^n dx)

0 <= In <= (1/(n+1)).(pi/4)^(n+1)
donc très clairement lim In -> 0 quand n tend vers +00 car pi/4 < 1

En effet je trouve mon exercice très bizarre ...
Dans la ligne en rouge en fait ce n'est pas ce que j'ai pour In+1-In mais je trouve :
sin(2x)*(x^(n+1)-x^n)
puisque sin(2x)>0 sur [0;pi/4] et (x^(n+1)-x^n)= x^n ( x - 1 ) < 0 sur [0;pi/4] ... Donc par produit on a:
==> sin(2x)*(x^(n+1)-x^n) < 0 sur [0;pi/4]
Ainsi ma suite est décroissante est majorée par 1/2 donc elle ne peux converger vers cette limite ...
Je ne sais pas si mon raisonnement est bon , c'est bien ça ?

[PlaneteF]

Dans la ligne en rouge en fait ce n'est pas ce que j'ai pour In+1-In mais je trouve :

Sauf que joel_5632 ne calcule pas du tout . Regarde plus attentivement son message.

[inviteb22d51ba]

Sauf que joel_5632 ne calcule pas du tout . Regarde plus attentivement son message.

en effet je viens de m'en apercevoir ...