exo dérivé

[invite380b1cd5]

Bonjour. J'aurais besoin de votre aide pour finir un exo sur les dérivées.

La fonction f est définie sur R par : f(x)= X 4 - 2X au cube + 2x au carré - 2X +5
On note f' la dérivée de f et f'' la dérivée de f'

1) calculer f''(x) et étudier son signe
f'(x)= 4X au cube - 6x au carré + 4x -2
f''(x)= 12 x au carré - 12x + 4
f''(x) est un polynôme de degré 2. Il est sous la forme ax au carré + bx + c où a est supérieur à 0.
DELTA = b au carré - 4ac
= 144-192= -48, inférieur à 0
Donc il n'y a pas de racines. F''(x) est toujours positive.
Est ce la bonne réponse?

2) En déduire les variations de f'.
F''(x) est la dérivée de f'(x). Puisque f'' est supérieur à 0, alors f' est croissante.
Est ce la bonne réponse??

3) Calculer f'(1), puis déduire des questions précédentes le signe de f'(x) suivant les valeurs de x.
f'(1) = 0
Puisque 1 est racine de f'(x), nous pouvons écrire f'(x)= (x-1) ( 4x au carré - 2x+2)
Donc f'(x)=0 pour x-1 =0 ou 4x au carré - 2x+2+0
DELTA= 4-32= -28, inférieur à 0
f'(x) est donc positif et f'(x) a le meme signe que (x-1)
Est ce la bonne réponse?

4) Etudier enfin les variations de f
j'aurais besoin d'aide pour cette question.
Merci d'avance
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[PlaneteF]

Re-bonjour,

1) calculer f''(x) et étudier son signe
f'(x)= 4X au cube - 6x au carré + 4x -2
f''(x)= 12 x au carré - 12x + 4
f''(x) est un polynôme de degré 2. Il est sous la forme ax au carré + bx + c où a est supérieur à 0.
DELTA = b au carré - 4ac
= 144-192= -48, inférieur à 0
Donc il n'y a pas de racines. F''(x) est toujours positive.
Est ce la bonne réponse?

2) En déduire les variations de f'.
F''(x) est la dérivée de f'(x). Puisque f'' est supérieur à 0, alors f' est croissante.
Est ce la bonne réponse??

Tu peux même préciser que f'' est strictement positive et f' est strictement croissante.

f'(x) est donc positif et f'(x) a le meme signe que (x-1)
Est ce la bonne réponse?

Cela n'est pas encore la réponse finale, l'énoncé te demande le signe de f' en fonction de x, chose à laquelle tu ne réponds pas explicitement.

Sinon il y a un raisonnement plus simple à faire et qui va dans le sens de ce que te demande l'énoncé, c'est d'utiliser la stricte croissance de f'.

4) Etudier enfin les variations de f
j'aurais besoin d'aide pour cette question.

A l'aide des résultats trouvés précédemment, fais un tableau de variation avec dans la première colonne, x en première ligne, f'' en seconde ligne, f' en troisième ligne et f en dernière ligne.


Cordialement

[Seirios]

Bonjour,

1) calculer f''(x) et étudier son signe
f'(x)= 4X au cube - 6x au carré + 4x -2
f''(x)= 12 x au carré - 12x + 4
f''(x) est un polynôme de degré 2. Il est sous la forme ax au carré + bx + c où a est supérieur à 0.
DELTA = b au carré - 4ac
= 144-192= -48, inférieur à 0
Donc il n'y a pas de racines. F''(x) est toujours positive.
Est ce la bonne réponse?

Correct.

2) En déduire les variations de f'.
F''(x) est la dérivée de f'(x). Puisque f'' est supérieur à 0, alors f' est croissante.
Est ce la bonne réponse??

Même strictement croissante.

3) Calculer f'(1), puis déduire des questions précédentes le signe de f'(x) suivant les valeurs de x.
f'(1) = 0
Puisque 1 est racine de f'(x), nous pouvons écrire f'(x)= (x-1) ( 4x au carré - 2x+2)
Donc f'(x)=0 pour x-1 =0 ou 4x au carré - 2x+2+0
DELTA= 4-32= -28, inférieur à 0
f'(x) est donc positif et f'(x) a le meme signe que (x-1)
Est ce la bonne réponse?

Tu te compliques la vie, tu as une fonction strictement croissante qui s'annule en x=1, donc...

4) Etudier enfin les variations de f
j'aurais besoin d'aide pour cette question.

La réponse découle simplement de la question précédente. Il ne devrait donc pas y avoir de problème une fois que tu auras revu ladite question.

EDIT: Grillé par PlaneteF

[invite380b1cd5]

Tu te compliques la vie, tu as une fonction strictement croissante qui s'annule en x=1, donc...


donc 1 est racine de f'(x). f'(x) est strictement positif, même entre les racines.

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

f'(x) est strictement positif, même entre les racines.

Non c'est faux ... Et puis pourquoi parles-tu de "racines" au pluriel alors qu'il n'y en a qu'une pour f'

Cdt

[invite380b1cd5]

Ah oui il n'y en a qu'une..bah je ne comprends pas alors..

[PlaneteF]

Et bien, ... pour tout x tel que x>1, en appliquant la stricte croissance de f' sur R tu obtiens ...

[invite380b1cd5]

la fonction s'annule en x=1, donc si x est supérieur à 1 bah on obtient une fonction strictement croissante

[PlaneteF]

la fonction s'annule en x=1, donc si x est supérieur à 1 bah on obtient une fonction strictement croissante

Mais le fait que la fonction f' est strictement croissante on le sait déjà depuis la question2 et c'est justement cette propriété qu'il faut maintenant utiliser pour la question3. Quelle définition connais-tu d'une fonction croissante ?