Bonjour, j'étudie actuellement les probabilités et en particulier le la loi binomial. Mais j'ai un problème pour le triangle de Pascal, je n'arrive pas à comprendre la démonstration de la formule :.
Pouvez-vous me donner une démonstration simple et explicite s'il vous plaît ?
Dernière modification par JPL ; 23/05/2014 à 01h03.
Bonjour,
Où est le problème ? Il suffit de l'écrire et de mettre deux fractions au même dénominateur
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
bonjour
Combien y a t'il de parties de k+1 éléments dans un ensemble de n+1 éléments ?
Il y a en:
Distinguons un élément
il y a les parties qui contiennent cet élément, il y en a:
et celles qui ne le contiennent pas, il y en a:
donc:
Oui mais je ne comprends pas au niveau des parties qui contiennent les élément, est-ce que avec un arbre de probabilité ce serait plus claire pour que je comprenne ?
Brian_54,
prends un exemple pour comprendre cette preuve. par exemple n=9, k=2 : On veut trouver combien il y a de parties à k+1=3 éléments dans l'ensemble des chiffres (taille n+1=10) en sachant combien il y a de parties à 3 éléments dans l'ensemble des chiffres non nuls (taille n=9) et combien il y a de parties à 2 éléments dans l'ensemble des chiffres non nuls :
Pour former une partie à 3 éléments, donc choisir trois chiffres sans ordre parmi les 10, je peux les prendre non nuls (donc C(9,3) façons), ou bien prendre le 0, puis choisir deux chiffres non nuls (donc C(9,2) façons). Comme j'ai fait tous les cas une seule fois, j'en déduis que C(10,3)=C(9,2)+C(9,3).
La preuve de Joël n'est que ce que j'ai fait (j'ai pris un chiffre particulier, le 0, pour décomposer le décompte des cas).
Cordialement.
Vraiment je n'arrive pas à comprendre, avec les parties qui contiennent les éléments et celle qui ne les contiennent pas.
Est-ce vraiment utile de connaître la démonstration si je connais la formule par cœur ?
Il y a deux façons d'agir :
* Bêtement, on apprend par coeur
* Intelligemment, on essaie vraiment de comprendre.
Il n'y a aucune difficulté dans l'explication de Joël. Si on veut vraiment fabriquer de toutes les façons les parties à k+1 éléments, l'idée proposée est particulièrement simple.
A moins de ne pas avoir compris les mots ...
As-tu réfléchi à mon exemple ?
Continue à réfléchir !
Prenons un exemple:
E = {a, b, c, d}
Combien y a t'il de parties à 2 éléments dans E ?
Il y en a
Ces 6 parties sont {a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d}, {c,d}
parmis ces 6 parties, certaines contiennent "a" et les autres non.
- Combien de parties contiennent "a" ?
Pour construire une partie de 2 éléments contenant "a", on prend "a" auquel on adjoint 1 élément choisi dans {b, c, d}
Il y a
Les parties sont: {a, b},{a, c},{a, d}
- Combien de parties ne contiennent pas "a" ?
Pour construire une partie de 2 éléments ne contenant pas "a", on prend 2 éléments choisis dans {b, c, d}
Il y a
Les parties sont {b,c}{b,d}{c,d}
Or une partie de 2 éléments pris dans E, soit elle contient "a" soit elle ne contient pas "a", donc:
Sinon comme l'a mentionné Médiat, c'est très rapide de le montrer "algébriquement" !
Merci joel_5632 je viens de comprendre enfin
Merci à tous !!!
"Ce qui ce conçoit bien s'énonce clairement et les mots pour le dire arrivent aisément"Envoyé par joel_5632
Prenons un exemple:
E = {a, b, c, d}
Combien y a t'il de parties à 2 éléments dans E ?
Il y en a
Ces 6 parties sont {a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d}, {c,d}
parmis ces 6 parties, certaines contiennent "a" et les autres non.
- Combien de parties contiennent "a" ?
Pour construire une partie de 2 éléments contenant "a", on prend "a" auquel on adjoint 1 élément choisi dans {b, c, d}
Il y a
Les parties sont: {a, b},{a, c},{a, d}
- Combien de parties ne contiennent pas "a" ?
Pour construire une partie de 2 éléments ne contenant pas "a", on prend 2 éléments choisis dans {b, c, d}
Il y a
Les parties sont {b,c}{b,d}{c,d}
Or une partie de 2 éléments pris dans E, soit elle contient "a" soit elle ne contient pas "a", donc:
Je vois, j'oublie. Je fais, je retiens.
Bonsoir,
On peut rédiger la démonstration de Joel_5633 en message#3 de manière plus formelle, par exemple de la façon suivante :
Au préalable notons :
Soit
Posons :
On ainsi :
Avec :
Cdt
Dernière modification par PlaneteF ; 23/05/2014 à 22h52.
A préciser que je ne suis pas sûr que ce genre de rédaction soit ce que l'on peut voir au Lycée, ... C'était juste pour donner un aperçu du type de formalisme utilisé dès la première année dans l'enseignement supérieur.
Cdt
Dernière modification par PlaneteF ; 23/05/2014 à 23h03.
