Différence des carrés, et des cubes

[invite8cf2464e]

Bonjour

Il se trouve qu'avant de m'endormir, je réfléchis beaucoup
Pas plus tard qu'hier soir, je m'amusais à faire des suites de nombres entiers au carré. Et puis je me suis rendu compte d'une chose :
si on prend un nombre, qu'on le met au carré, et qu'on le soustrait à ce nombre moins un au carré, cela va donner un nombre impair. Pour connaître le carré de ce nombre plus un, on ajoute deux au nombre impair qu'on a trouvé et on ajoute tout ça à ce nombre.

Je ne pense pas que vous avez directement compris ce que je veux dire x) J'illustre donc avec des exemples :
La différence entre 2² et 3², c'est 9-4 et ça vaut donc 5. La différence entre 3² et 4² c'est 16-9 et ça vaut donc 7. Ensuite, 5²-4² = 9 ; 6²-5² = 11
Chaque fois, la différence augmente de deux. J'en ai donc tiré cette formule :

((x+1)²-x²)-(x²-(x-1)²) = 2

Hors, ce matin, en développant et en réduisant, les x² s'annulent, les x aussi, et j'obtiens 2.
Je trouve ça étrange que tous les nombres au carrés se suivent de cette façon.


Pour les cubes

Puis je me suis demandé ce que cela donnerait avec la fonction cube. J'ai donc calculer la différence de chaque nombre entier positif élevé au cube :
1³-0³ = 1
2³-1³ = 7
3³-2³ = 19
4³-3³ = 37
5³-4³ = 61
6³-5³ = 91
7³-6³ = 127 ...

Ici, ce n'est pas tout le temps le même nombre que l'on ajoute à chaque fois. J'ai donc cherché le rapport entre tous ces nombres. Au début, je me suis dit qu'ils étaient tous premiers, mais 91 est divisible par 7. Ensuite je me suis dit que la somme de leurs chiffres étaient soit égale à 10 soit égale à 7, mais les nombres qui suivent cette suite ne le sont pas.
Et puis j'ai trouvé un rapport : si l'on enlève 1, ils sont tous divisibles par 6. En fait, chaque fois, on ajoute 6*x, x étant un entier positif variant en fonction du calcul.

1 + 6*0 = 1
1 + 6*1 = 7
7 + 6*2 = 19
19 + 6*3 = 37
37 + 6*4 = 61
61 + 6*5 = 91
91 + 6*6 = 127 ...

Comment expliquer la présence du nombre 6 ? Cela porte-t-il un nom ? Il y a-t-il une loi pour les nombres élevés à une puissance soustraits à d'autres nombres élevés à cette même puissance ?
Je ne connais pas ces choses là, je suis en classe de seconde.
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[inviteea028771]

Comment expliquer la présence du nombre 6 ? Cela porte-t-il un nom ? Il y a-t-il une loi pour les nombres élevés à une puissance soustraits à d'autres nombres élevés à cette même puissance ?
Je ne connais pas ces choses là, je suis en classe de seconde.

Il suffit de développer:




Pour la puissance 4,



Pour la puissance 5,



Pour la puissance 6,




On remarque que la formule est de plus en plus compliquée, et présente donc au final peu d'intérêt.

On peut cependant conjecturer assez facilement (si on connait le binôme de newton) que ce qui apparait pour la puissance N est le polynôme

[invite8cf2464e]

D'accord, merci pour l'explication
Je n'ai cependant pas compris les deux dernières équations car je ne connais pas le binôme de Newton Mais ce n'est pas très grave j'ai eu la réponse à ma question

[invite2c46a2cb]

Bonjour Mathpower !

J'apprécie ton sens de la curiosité mathématique, sache que c'est une excellente qualité qu'il ne faut surtout pas que tu perdes.

Je n'ai cependant pas compris les deux dernières équations car je ne connais pas le binôme de Newton

C'est une généralisation de l'identité remarquable du collège. D'ailleurs, on retrouve cette dernière, dans l'exemple suivant, un prenant .

Voici l'énoncé du binôme :
,


A noter qu'il se montre assez bien par récurrence.

On retrouve d'ailleurs une formule de ce style pour les .

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8cf2464e]

Merci pour ta réponse Teddy-mension. Je n'ai pas non-plus compris l'énoncé du binôme car il y a encore bien des choses que j'ignore des mathématiques et qui pourtant m'intriguent, comme de nombreux symboles dont j'ignore toujours la signification
Même si je n'ai pas compris cette formule, j'ai au moins compris pourquoi il y a exactement cette différence

[invite2c46a2cb]

Je n'ai pas non-plus compris l'énoncé du binôme car il y a encore bien des choses que j'ignore des mathématiques et qui pourtant m'intriguent, comme de nombreux symboles dont j'ignore toujours la signification

Si ça peut t'aider :

, , ,



, se lit "k parmi n", tu commenceras à l'utiliser en première, pour des probabilités, normalement.

Au passage :

Cordialement.

[invite8cf2464e]

Encore merci pour cette réponse, grâce à ça j'ai appris quelque chose
J'ai hâte d'arriver en premier, j'ai soif d'apprendre x)