Résolution d'une inéquation paradoxale

[invite58a4de2b]

Bonjour,

Je sollicite vos conseils et aides concernant une inéquation dont la solution ne me satisfait pas.

En fait, il s'agit de √(x² -15) > 2x + 3

Lorsque je la résous, cela me donne

√(x² - 15) > 2x + 3
x² - 15 > 4x² + 12x + 9 (mise au carré)
0 > 3x² + 12x + 24

Là je calcule le discriminant ∆ = (12)² - 4 (3)(24) = 144 - 288 = - 144.

Le discriminant étant négatif, normalement, l'expression (3x² + 12x + 24) devrait toujours être positive et donc cette inéquation n'admettrait aucune solution.

Mais le fait est qu'en remplaçant tout simplement x par - 10 par exemple, on aboutit à √[(-10)^2-15] = √85 et de même 2(-10) + 3 = -17. Dans ce cas, on voit que √(x²-15) > 2x +3 , ce que le calcul algébrique avait nié.

Dès lors, quelle est mon erreur ? Qu'est-ce qui justifie ce paradoxe ?

Merci d'avance
-----

[Médiat]

Bonjour,

Vous ne pouvez pas élever au carré une inéquation :

-5 < 2 mais 25 > 4

[gg0]

Bonjour.

Il faut se servir de la définition de la racine carrée (nombre positif dont le carré est ...) pour trouver un intervalle de solutions lorsque le second membre est négatif, puis de la croissance de la racine carrée pour voir ce qui se passe lorsque le second membre est positif. Sans oublier de commencer par voir quel type de nombres permet d'écrire l'équation ("domaine de définition").

Bon travail !

[pallas]

d'abord donner la condition d'existence de l'expression avec le radical ( radicante >=0)
ceci étant traite
Considérer le cas ou 2x+3<0 Inter conditions trouvée avant alors inégalité vérifiée ( donc votre exemple correspond )
ensuite considérer le cas 2x+3 >=0 donc inter existence ( puis votre calcul propose)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite58a4de2b]

Bonjour, merci pour vos commentaires ! Je tente de résoudre l'inéquation à la lumière de vos conseils :

√(x2 -15) > 2x + 3

Déjà, on peut déterminer le domaine de définition de cette inéquation : x² - 15 > 0 <=> x² > 15 <=> x > √15 ou x < - √15. On travaille donc sur l'intervalle ]-∞ ; -√15 [U] √15 ; + ∞ [.

Cas 1 : 2x+3> 0 <=> x > -1,5. On travaille donc sur l'intervalle ]√15 ; + ∞ [.

Dans ce cas, on peut mettre au carré puisque l'ordre reste le même, les deux termes étant positifs.

√(x² - 15) > 2x + 3
x2 - 15 > 4x² + 12x + 9 (mise au carré)
0 > 3x² + 12x + 24

∆ = (12)² - 4 (3)(24) = 144 - 288 = - 144.

Le discriminant étant négatif, l'expression (3x² + 12x + 24) est toujours positive et donc cette inéquation n'admet aucune solution.


Cas 2 : 2x+3<0 <=> x < - 1,5. On travaille donc sur l'intervalle ]-∞ ; - √15 [.

Dans ce cas, 2x + 3 < 0 et √(x²-15)> 0, on peut affirmer que 2x + 3 < √(x²-15).

Donc, S = ] - ∞ ; - √15 [.


Est-ce que ça vous semble correct ? Je suis ouvert à toute suggestion

[invite705d0470]

Oui, cela paraît être juste

[invite61764f3f]

élever l'inégalité au carré est une faute 3> -4 n' implique pas 9>16

[gg0]

Tu viens trop tard, Murzomurzo,

ça a été dit au message #2.
De plus, Lettresetlangues a très bien compris, et montré au message #5 sa maîtrise du sujet.

Parfois, lire la discussion évite d'apparaître comme une mouche du coche.

Cordialement.

[pallas]

simplement il faut envisager soit ponctuellement soit dans la cas général les cas ou le radicante est nul l

[pallas]

je precise que le domaine est inexact sachant que racine de zero est zero!

[gg0]

Bien vu , Pallas !