Démontrer une suite géométrique

[invite40e4d345]

Bonjour à tous !

Alors voilà, j'ai un petit soucis avec une question d'un exercice.

J'ai une suite u_n+1 = (3u_n+2)/(u_n+4)
Je sais que u₀ = 2
Enfin, j'ai v_n = (u_n-1)/(u_n+2)

Je dois démontrer que cette suite est géométrique en fonction de u_n+1

Tout d'abord j'ai fais v_n+1= (u_n+1-1)/(u_n+1+2)
Ensuite j'ai remplacé donc j'ai obtenu :

v_n+1= ((3u_n+2)/(u_n+4)-1)/((3u_n+2)/(u_n+4)+2)

Et là je reste bloqué, je ne sais pas comment faire. J'arrive pas à factoriser, si quelqu'un peut m'aider, merci !
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[gg0]

Bonjour.

Applique les règles de quatrième sur les additions de fractions ou de fractions et de nombres (mettre au même dénominateur) puis sur la division des fractions : Pour diviser une fraction par une autre, on multiplie la première par l'inverse de la seconde.

Bon travail !

[invite40e4d345]

Merci beaucoup !

Alors une petite question.. j'ai un petit peu oublié cette notion :S

Je tombe donc sur (2u_n-2)/(u_n+4)/(u_n+4)*(u_n+4)/(5u_n+10)

Lorsque j'en sis à là, je ne suis pas sûr de moi, je dois multiplier (2u_n-2)*(u_n+4) ou 2u_n-2*u_n+4 ?
Je pense que c'est la première solution mais pourriez vous me le confirmer ? Merci !

[gg0]

Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux, et les dénominateurs entre eux.
Attention, ne pas développer. Au contraire, factoriser (ça permet de simplifier les fractions), entre autres 2un-2 et 5un+10.

A noter : Il y a un /(un+4) en trop.

Cordialement.

NB : On n'apprend jamais assez les règles de calcul quand c'est le moment. Ça manque ensuite quand on en a besoin.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite40e4d345]

Merci beaucoup pour la réponse !

C'est vraiment gentil d'avoir consacré de votre temps à m'aider

[invite40e4d345]

Bonjour,

Je suis toujours avec mes suites, et je suis de nouveau coincé..

"J'ai une suite un+1 = (3un+2)/(un+4)
Je sais que u0 = 2
Enfin, j'ai vn = (un-1)/(un+2)"

J'ai trouvé une fois que v_n = v_nu_n + 2 v_n = u_n – 1

Mais depuis je n'arrive plus à trouvé ce résultat quand je fais de nouveau mes calculs (il me manque 1v_n à chaque fois), pourriez vous m'expliquer comment il faut procéder ?

Merci

[gg0]

Tu es sûr que v_n = v_nu_n + 2 v_n ?

Et à quoi cela sert-il ?

Cordialement.

NB : v_nu_n + 2 v_n = u_n – 1 est vrai, puisque c'est une réécriture de la définition de v_n.

[invite40e4d345]

Bonjour, effectivement j'ai fait une petite erreur, le v_n est en trop.

On m'a demandé de démontrer que la suite u_n = (2v_n+1)/(1-v_n), j'ai finalement réussi à comprendre cette égalité en partant de cette dernière pour tomber sur v_n.
On me demande d'en déduire u_n en fonction de n, mais ce n'est pas ce que je viens de trouver ?

[PlaneteF]

Bonjour,

Tu sais que la suite est une suite géométrique dont tu connais la raison et le premier terme, donc tu peux exprimer immédiatement le terme en fonction de , ... ce qui te permet ensuite d'exprimer le terme en fonction de .

Cdt

[invite40e4d345]

Bonjour,

Merci beaucoup ! J'avais pas fais le rapprochement entre les deux, j'ai réussi à obtenir u_n en fonction de n

[PlaneteF]

Petite remarque :

Je ne sais pas comment est "goupillé" ton exo et quelle est l'intégralité des questions, ... mais en toute de rigueur, dans la définition des 2 suites et , à cause de la présence d'un dénominateur, il faut justifier que ces 2 suites sont bien définies. Idem pour l'expression de en fonction de .


Cdt

[invite40e4d345]

Merci de cette remarque, il est vrai que je n'ai pas bien précisé, dans l'énoncé on précise pour les deux suites, qu'elles sont définie "pour tout n"

[PlaneteF]

Il y a une nuance entre "définir" et "bien définir". Par exemple on peut définir la suite par : et quel que soit , . Est-elle bien définie pour autant ? --> La réponse est non, car si c'est OK pour , et , ensuite la définition n'est plus applicable !


Cdt

[invite40e4d345]

Je comprends, mais pouvez vous m'expliquer si possible, comment bien définir une suite ? Merci

[PlaneteF]

Partons de ton exo :

Soit la suite définie par et

Soit l'énoncé t'indique que l'on suppose que cette suite est bien définie, ou bien l'énoncé peut te demander de le démontrer, auquel cas on peut raisonner comme suit :

Au premier coup d’œil on voit que la suite est positive et donc aucun terme ne pourra être égal à , donc aucun terme n'annulera le dénominateur. Mais attention, dire cela ne constitue nullement une démonstration, c'est juste une réflexion qui va te permettre d'amorcer une vraie démonstration, comme celle qui suit :

Par récurrence, montrons que le terme est bien défini et positif.

Cela est vrai pour car qui est bien défini et positif.

Supposons que le terme est bien défini et positif. Il en va alors de même pour l'expression . En effet, puisque le terme est positif, le dénominateur n'est pas nul et donc cette expression est bien définie. Par ailleurs le numérateur et dénominateur étant positifs cette expression est bien positive. Donc le terme est bien défini et positif.


Cdt

[invite40e4d345]

Je comprends ! C'est pas compliqué à faire

Merci beaucoup !

[PlaneteF]

Ensuite pour la suite , là pas besoin de démonstration par récurrence, ... On peut simplement remarquer que, puisque la suite est positive, alors l'expression est forcément différente de donc le terme est bien défini.