Raisonnement par récurrence un+-un =< 0

[inviteb79dcf40]

Bonjour, j'ai un petit souci avec un exercice de math sur le raisonnement par récurrence.

Soit (un) la suite définie pour tout entier naturel n par: uo=8 et un+1= (1/4)un +3

1. Montrer par réccurence que un+1-un =< 0

J'ai démontrer que P(0) est vraie sauf qu'à l'étape d'hérédité je bloque pour le début.

J'espère que vous pourrez m'aider c'est à rendre pour vendredi.
Merci par avance
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[invite8d4af10e]

Bonjour
'ai démontrer que P(0) est vraie j'aurai écrit P(1) car U1-U0 .
Hérédité :
tu supposes ( hypothèse de récurrence que) Un-Un-1<=0 , tu démontres que Un+1-Un<=0 (1)
(1) tu remplaces Un+1 par son expression donnée dans l’énoncé et en même temps faire apparaitre Un-1 pour utiliser l’hypothèse.

[PlaneteF]

'ai démontrer que P(0) est vraie j'aurai écrit P(1) car U1-U0 .

Salut l'ami ...

Ben il s'agit bien de puisque c'est :

[PlaneteF]

@chacha73100 :

Bonjour,

Tu peux résoudre cette question sans le moindre calcul et en 10 secondes chrono, grand maximum

Pour ce faire je te donne les 5 premières secondes en remarquant que la fonction réelle est strictement croissante.

A partir de là, la démonstration par récurrence est immédiate !

Si tu ne vois pas pourquoi c'est immédiat, je te donne le petit indice suivant :

 Cliquez pour afficher

On a :

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

Remarque importante :

Une erreur classique dans ce type de suite c'est de penser à tord que sous prétexte que la fonction est strictement croissante, il en va de même pour la suite . Cela est complètement faux, et cet exo donne un parfait contre-exemple : Ici la fonction est strictement croissante et pourtant la suite est, elle de son côté, strictement décroissante !


Cordialement

[PlaneteF]

Autre remarque : Tu peux bien évidemment procéder aussi comme te l'a indiqué jamo, ... avec . Ici, cette façon de faire est aussi très rapide.

Cdt

[inviteb79dcf40]

Merci beaucoup. Justement j'avais essayé un+2-un+1 =< 0 sauf que je connais que un+1 et du coup je suis bloquer. Je comprends pas comment trouver un+2

[inviteb79dcf40]

Merci mais je comprend pas pourquoi un-1

[inviteb79dcf40]

Est-ce que sa marche si je fais:
un+2-un+1=<0
un+2=<un+1
un + (1/4)un + 3 =< (1/4)un+3
(5/4)un+3=<(1/4)un+3
donc un+2-un+1=<0
donc un+1-un =<0 car un=>un+1

C'est bon comme sa?

[PlaneteF]

Est-ce que sa marche si je fais:
un+2-un+1=<0
un+2=<un+1
un + (1/4)un + 3 =< (1/4)un+3
(5/4)un+3=<(1/4)un+3
donc un+2-un+1=<0
donc un+1-un =<0 car un=>un+1

C'est bon comme sa?

Ouh là là ... c'est quoi cette cuisine

Il faut faire les choses proprement :

Hypothèse de récurrence : Supposons

Montrons que :

Par définition même de la suite on a :

Je te laisse le soin de conclure.


Cdt

[invite8d4af10e]

Salut l'ami ...

Salut toi