QCM suites terminale S

[Kelsy]

Bonjour à tous,
Je suis au début d'un DM, et j'ai réussi à faire la première question, mais voici celles sur lesquelles j'ai plus de mal :

Repérer les affirmations fausses et les justifier.

Soit (Vn) la suite définie par V = cos (n*pi)*(2 - 0,1^n) pour tout n appartient à N.
a) 2 est un majorant strict de (Vn)
b) 2 est la limite de (Vn)
c) Il existe un rang p Î N tel que Up >1,9999
d) Il existe un rang p Î N tel que pour tous les rangs n supérieurs à p, Un > 1,9999

3) Soit f la fonction définie sur R par f (x) = -x² + 3x - 2 .
a) Si f(x) <= 0 alors x => 2
b) La réciproque de l’affirmation précédente
c) f(x)
=>0 si et seulement si x appartient à[1 ; 2]

Pour la question 2)a), j'essaie de le démontrer mais je n'arrive pas, dans mon raisonnement par récurrence, à appliquer l'hérédité sur Vn+1 ...
Pareil pour la limite, si 2 en est effectivement une ...
Ensuite, j'ai conjecturé que la réponse c était vrai, donc il me faut rectifier la d, alors fausse... quelqu'un pourrait m'aider ? :$

Merci d'avance à vos réponses !!
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[PlaneteF]

Bonjour,

Déjà tu peux commencer par donner une expression très simple de

Cordialement

[Kelsy]

Je ne vois pas .... Je vais pas le remplacer par un sinus ... Est-ce égal à 1 .. ?

[PlaneteF]

Regarde combien vaut cette quantité pour

[A voir en vidéo sur Futura]

[Kelsy]

cos(0*pi) = cos(0) = 1
cos(1*pi) = cos(pi) = 0.998
cos(2*pi) = 0.994
cos(3*pi) = 0.987
cos(4*pi) = 0.976

à la calculatrice, mais théoriquement c'est toujours égal à 1 ?

[PlaneteF]

cos(0*pi) = cos(0) = 1
cos(1*pi) = cos(pi) = 0.998
cos(2*pi) = 0.994
cos(3*pi) = 0.987
cos(4*pi) = 0.976

à la calculatrice, (...)

Soit tu ne sais pas te servir de cette calculatrice, soit tu la balances sur le champ

(...) mais théoriquement c'est toujours égal à 1 ?

Un peu de concentration stp.


Cdt

[Kelsy]

Je viens de le faire autre part et cela donne successivement 1 et -1. Je vais en profiter pour voir ce qui était déréglé dans ma calculatrice, merci.
Je suppose que le seul moyen d'exprimer que cos soit positif puis négatif soit de l'exprimer à l'aide d'une puissance .. ?

[PlaneteF]

Oui, on peut simplement écrire :

N.B. : Tu dois être capable de trouver ce résultat sans calculatrice et de le démontrer.

Cdt

[Kelsy]

Mais en fait en l'encadrant, je me retrouve avec
-2<=cos(pi*n+1)*2 <= 2
mais je ne sais pas comment inclure le (-0.1^(n+1) ) ...
et pareil pour démontrer la limite en 2 je ne n'y arrive pas !

[PlaneteF]

On a :

A partir de là tu peux distinguer, pair, et impair, et montrer que dans les 2 cas

... Ou bien tu peux aussi montrer que

Cdt

[Kelsy]

Pour n pair,

(-1)^(n+1) <= 2
(-1)^(n+1)*2 <= 4

et le tout *(-0.1)^n ... ?

[Kelsy]

enfin, * (-0.1)^(n+1) puisqu'on est en raisonnement de récurrence !

[PlaneteF]

Pour n pair,

(-1)^(n+1) <= 2
(-1)^(n+1)*2 <= 4

et le tout *(-0.1)^n ... ?

enfin, * (-0.1)^(n+1) puisqu'on est en raisonnement de récurrence !

C'est quoi tout ce charabia ?!

Pas besoin de récurrence ici.

Tu peux montrer facilement que , et le résultat demandé se déduit immédiatement.

Cdt

[Kelsy]

(Je ne comprends juste pas comment encadrer le -0.1^n )

Donc d'accord, en le déduisant, on justifie que 2 est un majorant strict. (strict? parce que vous avez commencé avec "<")

Maintenant pour vérifier si 2 est la limite de Vn ...
Je ne sais pas :/
Car la limite de (-1)^n quand n tend vers l'infini sera successivement + infini ou - infini ...

[Kelsy]

De plus, si je ne me trompe, le fait que 2 soit un majorant STRICT justifie qu'il soit impossible que Up > 1.999 n'est-ce pas ?

[PlaneteF]

(Je ne comprends juste pas comment encadrer le -0.1^n )

As-tu réussi à montrer que : ?

Maintenant pour vérifier si 2 est la limite de Vn ...

Que peux-tu dire des termes de rang impair ? ... Conclusion.

De plus, si je ne me trompe, le fait que 2 soit un majorant STRICT justifie qu'il soit impossible que Up > 1.999 n'est-ce pas ?

Cela ne justifie rien de tout, tu peux très bien avoir une suite strictement majorée par et avoir un terme qui vaut par exemple et qui sera donc , ... ce qui est le cas pour cette suite.


Cdt

[Kelsy]

Ben
0<(-0.1)^n<1
0<2-0.1^n<2

les termes impair sont strictement supérieurs que -2 ... donc .. x)

alors il me faut conjecturer avec la calculatrice, initialiser et entamer un raisonnement par récurrence ?

[PlaneteF]

Ben
0<(-0.1)^n<1
0<2-0.1^n<2

Non.

les termes impair sont strictement supérieurs que -2 ... donc .. x)

C'est surtout le fait que les termes impairs sont par exemple strictement négatifs qui est intéressant !

alors il me faut conjecturer avec la calculatrice, initialiser et entamer un raisonnement par récurrence ?

Mais lâche nous avec tes récurrences ...

Plus simplement que vaut par exemple ? Conclusion.


Cdt

[Kelsy]

U6 = 1.8927
le reste je ne comprends pas désolé .. Je crois que je vais abandonner cette question, ça fait rien.
Merci !

[PlaneteF]

U6 = 1.8927

Non, non.

Cdt

[Kelsy]

U6 = cos(6*pi)*(2-0.1^6) = 1.8927

[PlaneteF]

u6 = cos(6*pi)*(2-0.1^6) = 1.8927

[Kelsy]

Je sais d'où vient l'erreur. Ma calculatrice était en degrés..