Bonjour, je poste donc naturellement parce que j'ai un souci au niveau d'un DM à rendre. J'ai fais la plus grosse partie mais malheureusement je bloque sur le dernier exercice. L'exercice en question est :
Pour tout entier n, on considère la propriété P(n) : " 2ⁿ ≥ (n+1)² "
1) Pour quelles valeurs de n, cette propriété est-elle vraie?
2) Démontrer par récurrence que la propriété P(n) est vraie pour les valeurs de n trouver en 1
Alors voici le travail que j'ai fais :
Pour le 1) j'ai fais manuellement P(0) vrai, P(1) faux etc jusque m'apercevoir que P(7), P(8), P(9) 10, 11, 12 vrai . Bon il y a une infinité donc c'est juste pas possible de calculer comme ça. Donc je ne sais pas quel raisonnement adopter pour prouver que P(0) est vrai et que pour tout n supérieur ou égal à 7 la propriété est vraie
Pour le 2), j'ai tenter de me lancer dans une raisonnement par récurrence
Ça donne :
On remarque que la propriété semble exacte à partir du rang 7
Initialisation : P(7) vrai (je ne poste pas les détails)
Hérédité : On suppose que pour un rang 7 P(n) vrai
Alors 2^(n+1) = 2 x 2ⁿ ≥ (n+1)² x 2
= 2 x 2ⁿ ≥ (n²+1+2n) x 2
=2 x 2ⁿ ≥ 2n²+2+4n
Or, pour tout n≥7, on a 2n²+4n+2 ≥ (n+2)²
On en déduit que pour tout n≥ 7, 2^(n+1) > (n+1)² ce qui fait que P(n+1) vrai
Voilà pour le 2) j'ai repris le modèle d'un exercice similaire trouvé sur internet, qu'en pensez vous?
Merci
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