Continuité

**moundir56** · 10/10/2014, 09h19

Bonjour

Cette fois-ci je bute sur la compréhension d'un exercice plutôt que sur sa résolution. J'ai la correction de cet exercice
certains points au niveau de la correction que j'arrive pas comprendre.

Soit la fonction f définie dans R par : $\text{[math]}$
A démontrer sa continuité en 2 par : $\text{[math]}$

L'objet est de trouver $\text{[math]}$ en fonction de $\text{[math]}$ .

En partant de $\text{[math]}$ on aboutit à : $\text{[math]}$

là après je bloque

et en consultant la correction, je ne comprends pas pourquoi on pose d'abord : $\text{[math]}$ (pourquoi prendre 1 et 3 et non 0 et 5?)
pour déduire après : $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

après dans cette correction, il est dit qu'il suffit de prendre $\text{[math]}$ (si on peut admettre que $\text{[math]}$ , pourquoi ajouter 1 dans la course et se limiter à prendre l'Inf des deux?)

merci pour l'aide
cordialement

**Noct** · 10/10/2014, 09h49

Bonjour,
Il n'est pas une obligation de se restreindre sur [1;3] . Tu pouvais aussi résoudre l'exercice avec [0;4]. L'important est de prendre un intervalle centré sur 2, afin d'exploiter $\text{[math]}$
Avec $\text{[math]}$ , ça donnerait $\text{[math]}$ et donc $\text{[math]}$
Mais dans ce cas , on aurait $\text{[math]}$ .
En effet , il ne suffit pas de prendre $\text{[math]}$ car si $\text{[math]}$ , l'implication que l'on veut démontrer n'est plus vraie car |x+2| < $\text{[math]}$ n'est plus vrai. C'est pourquoi dans ce cas , prendre $\text{[math]}$ suffirait.
Idem sur n'importe quel intervalle centré en 2. Il faudra prendre l'inf du majorant que l'on trouvera en fonction de $\text{[math]}$ et la demi-longueur de l'intervalle choisi.

**PlaneteF** · 10/10/2014, 10h18

Bonjour,

Pour un autre exemple de ce type de raisonnement tu peux regarder ici : http://forums.futura-sciences.com/ma...-limite-2.html et plus particulièrement les messages#19 et #25 pour le détail de la résolution.

Cordialement

**moundir56** · 10/10/2014, 10h31

Merci pour la réponse

la 1ere partie de ma question , l'encadrement de x ( à centrer), la réponse m'a convaincu

par contre, pour la snde partie, c'est pas encore clair (pour moi!)

Envoyé par Noct

...
Avec $\text{[math]}$ , ça donnerait $\text{[math]}$ et donc $\text{[math]}$
Mais dans ce cas , on aurait $\text{[math]}$ .
En effet , il ne suffit pas de prendre $\text{[math]}$ car si $\text{[math]}$ , l'implication que l'on veut démontrer n'est plus vraie car |x+2| < $\text{[math]}$ n'est plus vrai...[/TEX]

en outre l'implication peut être vraie même si $\text{[math]}$ n'est pas vrai. non?

cordialement

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Médiat** · 10/10/2014, 10h41

Envoyé par moundir56

en outre l'implication peut être vraie même si $\text{[math]}$ n'est pas vrai. non?

Bonjour,

Une implication est toujours "vraie" quand la prémisse est fausse.

Ce que vous devez avoir en tête c'est que la démonstration consiste à trouver $\text{[math]}$ , donc s'imposer une condition supplémentaire (comme $\text{[math]}$ , par exemple), est parfaitement légitime (si cela permet de trouver

).

**Noct** · 10/10/2014, 10h49

Remarque : j'ai fait une petite bévue et tu l'auras remarqué , c'est bien $\text{[math]}$ et non $\text{[math]}$
On veut montrer que [...] $\text{[math]}$ implique que $\text{[math]}$ .
En l'occurence, on a raisonné par équivalences , en partant de $\text{[math]}$ .
On a considéré x appartenant à [1;3] et tu affirmes qu'il suffit de prendre $\text{[math]}$ .
. Mais il faut se souvenir que l'on avait établi cette inégalité UNIQUEMENT pour $\text{[math]}$ et pas ailleurs. C'est pourquoi , si on trouve un majorant de $\text{[math]}$ plus grand que 1 , alors il faut prendre $\text{[math]}$ = 1. C'est le domaine de validité de l'inégalité obtenue.

**PlaneteF** · 10/10/2014, 11h08

Une façon de présenter le raisonnement est la suivante :

On a : $\text{[math]}$

Or la condition $\text{[math]}$ mène à $\text{[math]}$ et donc si l'on choisit $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ , il vient $\text{[math]}$

Ainsi il suffit de choisir $\text{[math]}$

Cordialement

**joel_5632** · 10/10/2014, 12h04

bonjour

Cette démonstration n'est pas si simple à comprendre. j'ai du la relire 2 ou 3 fois.

**PlaneteF** · 10/10/2014, 13h06

Envoyé par joel_5632

Cette démonstration n'est pas si simple à comprendre.

Ce qui peut, peut-être, dérouter certaines personnes à la première découverte de ce type de démonstration, c'est que contrairement à beaucoup de raisonnements où l'on procède par équivalences ou par conditions nécessaires, ici on raisonne par conditions suffisantes.

Ainsi prendre arbitrairement $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ peut paraître surprenant mais on aurait tout aussi bien pu prendre $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ (c'était d'ailleurs ce que signifiaient Noct et Médiat) et dans ce cas on aurait obtenu $\text{[math]}$ et il aurait suffit de choisir $\text{[math]}$

Cordialement

**Médiat** · 10/10/2014, 13h16

Pour aller dans le même sens que PlaneteF, j'ajoute que le problème n'est pas de trouver "le meilleur $\text{[math]}$ " (d'ailleurs il faudrait définir "meilleur" ici), mais de trouver un $\text{[math]}$ qui marche (dans de nombreux cas, trouver "le plus grand $\text{[math]}$ " qui marche pour un $\text{[math]}$ quelconque n'est tout simplement pas possible).

**moundir56** · 10/10/2014, 13h49

Pour assimiler tout ça va me falloir un peu plus de temps

Un grand et chaleureux merci à vous tous les amis pour votre contribution

cordialement

**joel_5632** · 10/10/2014, 15h56

Encore un argument qui me vient à l'instant.

Dans la définition de la continuité, pour un epsilon donné, si un alpha convient, alors n'importe quel autre alpha plus petit convient aussi. Donc on peut chercher un alpha inférieur à 1, ce qui entraine 1<x<3.

**moundir56** · 25/02/2015, 12h49

bonjour

en voulant refaire cet exercice, je me suis rendu compte comment j'ai pu admettre facilement que voulant majorer

$\text{[math]}$

et en encadrant le rapport à majorer j'ai obtenu : $\text{[math]}$

pour moi c'est $\text{[math]}$ qui doit etre prise en compte sinon et en prenant $\text{[math]}$ on est pas assuré d'avoir l'inégalité $\text{[math]}$

merci de me corriger

cordialement

**gg0** · 25/02/2015, 13h14

Bonjour

si $\text{[math]}$ on est assuré que $\text{[math]}$ . Et surtout que $\text{[math]}$ . L'inverse n'est pas vrai.

Cordialement.

**moundir56** · 25/02/2015, 14h02

merci pour la réponse

désolé de revenir sur ce point mais comment peut on etre certain que $\text{[math]}$ va être strictement inférieur $\text{[math]}$

Continuité

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Re : Continuité

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