Exercice math Terminale S proba et suite

[invitecd3282ca]

Bonjour, voici mon exercice de math :



J'ai fait l'arbre (je ne sais pas comment le transposer ici),
à la question 2 j'ai trouvé G3 = 0.28 en faisant les probabilités totales puis en confirmant avec la formule donnée, mais je ne sais pas coment le démontrer.

Question 3, j'ai trouvé
a) U_n+1 = 0.2 U_n

b) U_n= U₁*0.2^n-1, non ? Puisque je dois partir de G1, la première partie étant forcément gagnée .. ?

et j'arrive donc à G_n= 0.75*0.2^n-1-0.25 mais cela semble être faux ...

Je vous demande donc de l'aide sur cet exercice. Je me suis peut-être trompée dans les formules, mas je ne trouva pas l'erreur !
toute aide sera la très bien venue !
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[Seirios]

Bonjour,

Une petite remarque : tu calcules et non (c'est un événement, et non un nombre). Ensuite, je pense que ton erreur est que et non .

[invite5805c432]

je ne sais pas ce qu'est un arbre pondéré, néanmoins le 2 est assez directe:

tu définis
A_n= evenement ou il gagne au n ieme coup.
et tu cherches
g_n= P[A_n]

traduit calmement les lignes de l’énoncé:
probabilité qu'il gagne au n+1 coup si il a gagné au n ieme coup =
probabilité qu'il perd au n+1 coup, si il a perdu au n ieme coup =

la tu es à 2 doigts d'appliquer la formule de Bayes pour avoir en fonction de

[invitecd3282ca]

Je n'ai pas entendu parler de la formule de Bayes ...

Est-ce que vous êtes d'accord pour dire que g₃ = 0.28 ?
Auquel cas la question 1 serait finie,
puis pour la 2, je n'arrive pas à le démontrer dans tous les cas, donc sous forme littérale ..

Question 3,
b) j'ai donc g_n = 0.75 * 0.2ⁿ+0.25 ?
Mon soucis c'est que pour g₃ ça ne donne pas 0.28 ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Est-ce que vous êtes d'accord pour dire que g₃ = 0.28 ?

Oui

puis pour la 2, je n'arrive pas à le démontrer dans tous les cas, donc sous forme littérale ..

Comment avez-vous démontré la réponse à la question 1 ? (C'est pareil)

[invitecd3282ca]

Je pense avoir trouvé !
Si, dans mon arbre, je remplace g₂ par g_n et g₃ par g_n+1,
g_n+1 = 0.4*g_n+(1-g_n)*0.2 = 0.2g_n+0.2 !

Seulement, je ne comprends pas pourquoi on n'utilise pas le g₁ qui est égale à 1 ? On place bien g_n sur g₂ ?

[Médiat]

Si, dans mon arbre, je remplace g₂ par g_n et g₃ par g_n+1,
g_n+1 = 0.4*g_n+(1-g_n)*0.2 = 0.2g_n+0.2 !

Oui

Seulement, je ne comprends pas pourquoi on n'utilise pas le g₁ qui est égale à 1 ? On place bien g_n sur g₂ ?

g₁ est utile pour la question 3b

[invitecd3282ca]

Dans 3b)

U_n = U₁*0.2ⁿ ou *0.2^n-1 ?

Et U₁ = g₁-0.2=1-0.25=0.75, n'est-ce pas ?

Donc U_n = 0.75*0.2^n-1 ?

[invitecd3282ca]

Je pense que pour la limite je devrais y arriver mais il me faudrait savoir si mes résultats précédents sont justes, du coup .. Help !

[inviteaaa1b3c5]

Je pense que pour la limite je devrais y arriver mais il me faudrait savoir si mes résultats précédents sont justes, du coup .. Help !

Un+1 = 0.2. Un
Un = 0.2 Un-1
Un = 0.2² Un-2 (1 itération)
...
Un = 0.2^(n-1) Un-(n-1) = 0.2^(n-1) U1 (n-2 itérations)

Le reste est ok !

[inviteeca550f7]

pourquoi u mets 0,2^n-1 moi je pense qu il ya n terme d ou 0,2^n

[inviteeca550f7]

desolé j ai fait ue erreur

[invitecd3282ca]

Qu'est-ce que je dois garder, alors ?

[inviteaaa1b3c5]

Qu'est-ce que je dois garder, alors ?

Avez-vous réécrit les itérations comme je l'ai fait ci-dessus, en les comptant et en regardant l'exposant du 0.2 ?
Pourquoi ai-je explicité n-(n-1) pour l'indice de U au lieu d'écrire directement U1 ?

[invitecd3282ca]

Je ne comprends pas le principe des itérations ..
Pour ça que non, je n'ai pas réussi à suivre cette partie-là ! :/

[inviteaaa1b3c5]

Ok. Dans le 1er post vous écrivez "pour la question 3. j'ai trouvé Un+1=0.2Un ". On part de là donc, ok?

Suite géométrique dont vous connaissez le 1er terme U1 que vous avez calculé (U1=g1-0.25=0.75).

Essayons d'exprimer donc le terme général Un en fonction de U1 ?

Un = 0.2 Un-1 c'est le point de départ.
Si je veux redescendre au 1er terme, il faut que je le fasse pas à pas.
Que vaut Un-1 en fonction du terme précédent ?

[invitecd3282ca]

U_n-1 = 0.2*U_n-2

[inviteaaa1b3c5]

Ok.
Donc Un = 0.2 Un-1 = 0.2x 0.2.Un-2 = 0.2x0.2x0.2 Un-3 ... La question est: combien de fois je répète ceci pour arriver à U1 ?

[invitecd3282ca]

n fois?
Je ne comprends pas trop.. U1 représente quoi ?

[inviteaaa1b3c5]

U1 ??
Au post #8 vous l'avez calculé vous-même. C'est le 1er terme de la suite !

[invitecd3282ca]

Oui je sais, mais dans le cas littéral des Un je ne comprends jusqu'où il faut aller pour arriver à U1 !

[inviteaaa1b3c5]

Un
Un-1 (1 fois)
Un-2 (2 fois)
...
Un-(n-3) ( n-3 fois) = U3 car n-(n-3)=3
Un-(n-2) ( n-2 fois) = U2 car ...
Un-(n-1) ( n-1 fois) = U1 car ...

D'accord ?

[invitecd3282ca]

Je ne comprends pas bien d'où ça sort, mais oui je suis d'accord..

[inviteaaa1b3c5]

Il faut comprendre ça, c'est la base des exercices sur les suites.

Je ne fais que lire l'indice de la suite !

On peut aussi le voir dans l'autre sens:

Pour toute suite géométrique de raison q (le 0.2 dans l'exo)

U1
U2= q. U1 (1 itération -> la raison est la puissance 1)
U3= q. U2 = qx (q.U1) = q^2 U1 (2 itérations -> la raison est à la puissance 2)
...
Un= q^(n-1). U1 (pour arriver à U2 j'ai fait 1 itération, pour arriver à U3 j'ai fait 2 itérations ... pour arriver à Un il me faut donc faire n-1 itérations, or le nbre d'itérations correspond ici à la puissance de la raison, d'où q^(n-1).

[invitecd3282ca]

D'accord, j'ai pris un temps pour réfléchir et ça va mieux !
Donc à partir de là,
g_n = U₁*2^n-1+0.25 ?

[invitecd3282ca]

Et donc, si mes calculs sont bons,
lim_n->+oo (g_n) = 0.25 par somme (lim 0.75*0.2^n-1=0 car -1<=0.2<=1 )