Dm math nombres complexes

[Kelsy]

Bonjour,
voici l'énoncé de mon DM :



J'ai fait la question 1 sans soucis,
c'est pour l'instant à la 2 que je bloque.

a = 1 + 0i
a = (1- (x+iy))/(x-iy-1
= (1-x-iy)*((-x+iy)-1)/(1+1) ?
au final j'ai
1 + 0i = ((-1+x²-y²)/2) + yi

donc

y=0
-1+x² = 2

x = sqrt(3) ou -sqrt(3) ?

ça ne me semble pas coïncider avec f(a) en fait ..

Donc je pense avoir la méthode pour la question 3 seulement j'aimerai trouver mes problèmes de calcul s'il y en a à la 2 pour continuer ..

Merci de toute aide, qui me sera fort précieuse !!
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[Seirios]

Bonjour,

Je ne comprends pas comment tu obtiens cette ligne :

= (1-x-iy)*((-x+iy)-1)/(1+1) ?

Mais de toute manière, tu te compliques la vie : tu cherches à résoudre , donc il suffit de faire passer le dénominateur dans le membre de gauche.

[Noct]

D'ailleurs il y a des méthodes plus simples.
Pour la 2) ,
En utilisant le fait que , on y arrive facilement
Et pour la 3) , il suffit de calculer les modules.
Mais bon , si ils disent de poser z = x + iy... , il faut suivre l'énoncé.

[Kelsy]

Merci de vos réponses !
Pour la 2) en faisant passer le dénominateur, j'obtiens en fait naturellement
2x = 2
x = 1
C'est bien ça ?
Je n'ai donc qu'un antécédent de a par f ?

Pour le 3, j'ai
(2+i)(x-iy-1) = 1-x-iy
i(-2y+x-1)+2x-2-y = 1-x-iy
et par un système j'obtiens au final
y=0
x=1
Mais pareil, je me doute que c'est faux puisque moi je trouve un antécédent ..

[A voir en vidéo sur Futura]

[Kelsy]

Mes réponses étaient-elles justes ou fausses ?

[Noct]

.
Plusieurs complexes ont pour partie réelle 1 , donc pourquoi dis-tu un seul antécédent ?
Ensuite , y=0 et x=1 ça représente le complexe 1 qui est exclu car f n'est pas définie en 1 (regarde ce qui est souligné dans ton énoncé ! ) , donc il n'y a bien aucun antécédent.

[Kelsy]

D'accord, je comprends pour la question 3,
mais si on trouve 1 aussi pour la question 2, il convient de la même manière de dire que a n'a pas d'antécédents .. ? Je ne comprends pas la différence !

[Noct]

Un nombre complexe est défini par une partie réelle ET une partie imaginaire (ici x et y).
Le fait que x=1 ne définit pas un seul nombre complexe. (Par exemple 1+i a aussi une partie réelle égale à 1).
En revanche x=1 ET y=0 définit un unique complexe.
En définitive, pour la 2) , l'ensemble de solutions est l'ensemble des nombres complexes de la forme 1+ai avec a réel non nul (car 1 est exclu) , c'est à dire l'ensemble des complexes de partie réelle égale à 1 , sauf 1.

[Kelsy]

D'accord ! J'ai compris.

Pour la question 4, j'ai rectifié mes erreurs de calcul (j'en fait toujours .. ) pour le numérateur, mais pour le dénominateur j'ai un soucis :
on prend bien (x-iy)-1
puis (x-y)²+(-1)² ?
ce qui me donne x²-2xy+y²+1 et n'est pas compatible avec (x-1)²+y²

[Noct]

Pourquoi (x-y)² + (-1)² ?
Tu multiplies par la quantité conjuguée (x-1)+iy en haut et en bas.
Au dénominateur il te reste bien |x-iy-1|² = |x-1-iy|² = (x-1)² + y².(Penser à bien distinguer partie réelle et partie imaginaire)

[Kelsy]

Parce que l'on m'avait appris que si j'ai par exemple i/(3i+2), ça me donne i*(2-3i)/(3²+2²) (regarder le dénominateur)
donc je pensais faire de même en enlevant le i : (x-y)²+(-1)², je ne comprends pas pourquoi c'est faux ?

ensuite pour le 5)a),
la représentation est une droite verticale passant par l'ascisse x=1 ?

[Noct]

Parce que l'on m'avait appris que si j'ai par exemple i/(3i+2), ça me donne i*(2-3i)/(3²+2²) (regarder le dénominateur)

Oui c'est bien la même chose , sauf que ici la partie réelle est (x-1) et la partie imaginaire y , donc au dénominateur on a (x-1)² +y². C'est pour ça que je faisais la remarque , bien distinguer partie réelle et imaginaire.
Pour la 5a) , c'est la droite verticale d'équation x=1 mais privée du point d'affixe 1.

[Kelsy]

D'accord, merci beaucoup !
Ok, donc pour la représenter j'arrête mon trait où du coup ? Juste avant et je reprend juste après ?

ensuite pour la 5b) .. l'image est réelle, donc je suppose que (2y-2xy)/((x-1)²+y²) = 0 ?
et ensuite ? :$

[Noct]

Pour la représenter , tu traces juste la droite verticale en entier. Le fait que la droite est privée d'un point ne peut pas être représenté.
Pour la 5b) , l'image étant réelle , la partie imaginaire est nulle donc ton équation est juste.
Ensuite , pour qu'une fraction soit nulle , il suffit que le numérateur soit nul , donc ça se simplifie.

[Kelsy]

Je dis que la courbe appartient à R ou à C ?

D'accord, donc est-ce qu'il me faut le résoudre, 2y-2xy = 0, ou non ?
Logiquement non, il me "suffit" de tracer (-x²+y²+2x-1)/((x-1)²+y²) ... Mais comment faire ?

[Kelsy]

En fait si, j'ai donc y=0
et je dois tracer :

(-x²+2x-1)/(x²-2x+1)
est-ce le conjugué ?
Sa courbe représentative est-elle remarquable ?

[Kelsy]

En fait c'est bon c'est bon, la représentation est la droite horizontale qui passe par -1 ! N'est-ce pas ?

et pour la c), je cherche à représenter
(2y-2xy)/((x-1)²+y²)

[Noct]

Pour la b) , , donc quelle est la représentation graphique ?

et pour la c), je cherche à représenter (2y-2xy)/((x-1)²+y²)

Euh , c'est plus simple que ça.
Pour la c) , on fait la même chose et on aboutit à , donc ...

[Kelsy]

D'accord on met à 0 la partie imaginaire, là on l'a résolut, mais que fait-on de la partie réelle dans la b ?
Pour répondre à la question, on trace y = 0 donc réaccentuer la droite des ordonnées .. mais je ne suis pas sûre de comprendre pourquoi on omet l'autre partie du calcul ..

et la c, non je voit pas.
(x-1)²-y² = 0 ...

[Noct]

on trace y = 0 donc réaccentuer la droite des ordonnées

C'est l'axe des abscisses , pas des ordonnées.
Pour la b) , il n'y a rien besoin de faire sur la partie réelle , la partie imaginaire est nulle , alors c'est un réel , fin.
Même raisonnement pour la c).

et la c, non je voit pas.
(x-1)²-y² = 0 ..

. De manière générale a² = b² si et seulement si a = b OU a = -b.

[Kelsy]

donc x-1=y ou x-1=-y
on trace les deux droites
y = x-1
et
y=-x + 1 donc ?

[Noct]

Oui, tout à fait.

[Kelsy]

D'accord, merci.
Plus que la d) et c'est bon !
donc,

X = (-x²+y²+2x-1)/((x-1)²+y²)
Y = (2y-2xy)/((x-1)²+y²)
?

et je vais commencer le calcul..

[Noct]

Je te conseille d'utiliser directement le fait que -x²+y²+2x-1 = y² - (x-1)² pour ne pas compliquer les calculs.

[Kelsy]

Est-ce que
(y²-(x-1)²)² = y⁴-(x-1)⁴ ?
et je fais pareil pour le dénominateur ?

[Noct]

Non , tu oublies l'identité remarquable , (a-b)² = ...

[Kelsy]

alors d'abord
X² = (-x²+y²+2x-1)²/((x-1)²+y²)² = (y⁴-2(x-1)²+(x-1)⁴)/((x-1)⁴+2y²(x-1)²+y⁴ ) ?