Exercices sur les complexes (Niveau : Terminale S)

[invitea80b8299]

Bonjour, j'ai deux exercices à faire sur les complexes mais je bloques sur certaines questions et j'aimerais avoir un peu d'aide pour les résoudre si possible. Je vous écris l'énoncé :

1^er exercice : Résolution d'une équation

On pose P(Z) = z⁴ - 6z³ + 23z² - 34z + 26.

1) α est un nombre complexe quelconque (quand c'est souligné c'est le conjugué (la barre au dessus)).
a) Démontrez que P(α) = P(α) => Fait
b) Déduisez-en que si P(α) = 0, alors P(α) = 0 => Fait

2) a) Calculer P(1 + i) => 0
b) Indiquer deux solutions complexes de l'équation P(z) = 0 => {1 + i; 1 - i}

3) On pose Q(z) = [z - (1 +i)][z - (1 - i)].
a) Vérifiez que P(z) est le produit du polynôme Q(z) et d'un polynôme Q₁(z) du second degré que l'on déterminera.
b) Résolvez dans C l'équation P(z) = 0.

Donc j'ai fait les questions 1 et 2 et il me reste uniquement le 3 à faire, sauf que je n'y arrive pas vraiment. J'ai compris que P(z) = Q(z)Q₁(z) mais comment peut-on trouver Q₁(z) ? En décalant de l'autre côté pour donner Q₁(z) = P(z)/Q(z) ?

Merci d'avance pour l'aide que vous pourrez m'apporter

Cordialement, LordHorus. (Je mettrais le deuxième exercice quand j'aurais fini celui-là pour éviter de s'embrouiller).
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[invite8ab5fa54]

On te dit déjà que est de degré 2. Donc il suffit de poser et d'écrire l'égalité entre et afin de trouver A, B et C

[invitea80b8299]

Ça ne m'avance pas vraiment, j'étais déjà au courant, mais il faut que je fasse le calcul de z⁴ - 6z³ + 23z² - 34z + 26 = (z² - 2z + 2)*az² + bz + c ? (z² - 2z + 2) c'est Q(z).

[invite8ab5fa54]

Développe cette expression

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea80b8299]

Ça m'avance à quoi ? Je trouve un long résultat et on ne peut rien faire à vue d’œil.

P(z) = Q(z)Q₁(z)
z⁴ - 6z³ + 23z² - 34z + 26 = (z² - 2z + 2)(az² + bz + c)
z⁴ - 6z³ + 23z² - 34z + 26 = az⁴ + bz³ + z²c - 2z³a - 2z²b - 2zc + 2az² + 2bz + 2c.

[invite5805c432]

à vue d oeil tu as a et c. Il te reste à trouver b

dans ton cours on t'as expliqué qu une ecriture polynomiale sour la forme a+nx^n + ... a_1 x + a_0 est unique/
donc tu sais déja que z=1, et 2c= 26
il reste à trouver les coeff d'ordre 3 , 2 et 1, et trouver b qui verifie les 3 equations.

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

...
z⁴ - 6z³ + 23z² - 34z + 26 = az⁴ + bz³ + z²c - 2z³a - 2z²b - 2zc + 2az² + 2bz + 2c.

Regroupe les termes suivant les puissances de z puis identifie les coefficients.

Duke.

EDIT : un lapsus de la part de untruc : c'est a=1 et 2c=26

[invitea80b8299]

z⁴ - 6z³ + 23z² - 34z + 26 = (a)z⁴ + (b - 2a)z³ + (c - 2b + 2a)z² + (2c + 2b)z + (2c)

Donc c = 26/2 = 13.
Puis a = 1.
Et b <=> -6 = b - 2a = b - 2 donc b = -6 + 2 = -4.

a = 1; b = -4 et c = 13.

Du coup je dois dire que Q1(z) = 1z² - 4z + 13 et je calcule les deux dernières solutions à partir de ça ?

[Duke Alchemist]

Re-

z⁴ - 6z³ + 23z² - 34z + 26 = (a)z⁴ + (b - 2a)z³ + (c - 2b + 2a)z² + (-2c + 2b)z + (2c)

Donc c = 26/2 = 13.
Puis a = 1.
Et b <=> -6 = b - 2a = b - 2 donc b = -6 + 2 = -4.

a = 1; b = -4 et c = 13.

Du coup je dois dire que Q1(z) = 1z² - 4z + 13 et je calcule les deux dernières solutions à partir de ça ?

Juste une petite correction en rouge ci-dessus Parce qu'en vérifiant avec 2c+2b=-34, cela ne marchait pas ! Il faut toujours vérifier ses résultats !

Sinon, en effet, la fin consiste à déterminer les deux solutions manquantes afin de terminer l'exercice.

Duke.

[invitea80b8299]

Du coup j'ai trouvé D = -36 donc deux solutions complexes : z₁ = 2 - 3i et z₂ = 2 + 3i

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Il n'y a plus qu'à vérifier que ces racines annulent bien le polynôme P(z).

Bonne soirée.
Duke.

[invitea80b8299]

Ils annulent le polynôme P(z) ^^ Merci pour l'aide !