Exercice sur les suites

[invite682be6e3]

Bonjour, je viens vers vous car après plusieurs tentatives je n'arrive pas à venir à bout de cet exercice, merci d'avance pour tout aide !
Voici l'énoncé :
On considère la suite (u_n) définie par u₀ = 1/2 et pour tout entier naturel n, u_n+1= 3u_n/1+2u_n
1)
a- Calculer u₁ et u₂
Ici pour u₁ je trouve 0,75, u₂ = 0,9

b- Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n, 0<u_n
Ici j'ai essayé mais je pense que je ne suis pas sur la bonne voie:
P_n la propriété pour tout n, 0 <u_n
Vérifions P₀ : u₀=1/2 > 0 donc 0<u₀ donc P₀ est vraie
Supposons P_n vraie
Montrons qu'alors P_n+1 est vraie
0<u_n
3<3u_n
3/1+2u_n<3u_n/1+2u_n
Donc P_n+1 est vrai, donc pour tout n 0<u_n

2) On admet que, pour tout entier naturel n, u_n<1
a- Démontrer que la suite (u_n) est croissante
Ici je pensais juste calculer les premiers termes de la suite et montré que ça ne cesse d'augmenter, or, je suis pas sur que cela soit une bonne justification...
b- Démontrer que la suite (u_n) converge
Et pour cette question je ne vois pas comment faire

3) Soit (v_n) définie, pour tout entier naturel n, par v_n = u_n/1-u_n
a- Montrer que la suite (v_n) est une suite géométrique de raison 3
Ici je pense qu'il faut utiliser la formule v_n/v_n+1 or je me retrouve avec des calcules énorme !
b- Exprimer pour tout entier naturel n, v_n en fonction de n
c- En déduire que, pour tout entier naturel n, u_n = 3ⁿ/3ⁿ+1
d- Déterminer la limite de la suite (u_n)

Merci pour vos réponses et votre aide, bonne journée !
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[invite8ab5fa54]

Ici je pensais juste calculer les premiers termes de la suite et montré que ça ne cesse d'augmenter, or, je suis pas sur que cela soit une bonne justification...

Tu dois être sûr que ce n'est PAS une bonne justification mathématique.
Il faut calculer et montrer que c'est positif pour tout n. Et c'est la méthode à employer la plupart du temps pour montrer la monotonie d'une suite , donc à retenir absolument.
Tu peux t'inspirer de ce thread http://forums.futura-sciences.com/ma...nvergente.html , c'est à peu près le même sujet.

[PlaneteF]

Bonjour,

Beaucoup de tes écritures sont complétement fausses faute de parenthèses. Par exemple ...

u_n+1= 3u_n/1+2u_n

... veut dire :


Rappel : http://fr.wikipedia.org/wiki/Ordre_des_op%C3%A9rations


Cordialement

[PlaneteF]

Sinon, ...

0<u_n
3<3u_n

Quelle est le rapport entre la 2e ligne et la 1ère ligne

En plus de cela ta 2e ligne conduit à , ... or c'est exactement l'inverse que l'on te demande de démontrer la question suivante !

Ta justification est complètement fausse.

Cdt

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite682be6e3]

Merci pour ton aide Noct,
pour en venir à u_n+1-u_n comment faire passer les u_n de l'autre côté sachant que je les deux fois ?

[PlaneteF]

Tu peux avant toute chose commencer par corriger ta justification du 1)b) comme je te l'ai indiqué en message#4 !

Cdt

[invite682be6e3]

Pour cela, j'ai simplement multiplier 3 de chaque côté de mon inéquation, ce qui ne change pas le sens
Dans l'idée je voulais montré que un+1 est supérieur à un... mais après réflexion je me rends compte que j'ai pas compris ce que je devais démontrer, et comment...

[PlaneteF]

Pour cela, j'ai simplement multiplier 3 de chaque côté de mon inéquation, ce qui ne change pas le sens

Et ben si tu fais cela tu obtiens ... et non pas !!

[invite682be6e3]

en effet, j'avais pas fais attention, merci ! est-ce que cela change tout de même le raisonnement ?

[PlaneteF]

en effet, j'avais pas fais attention, merci ! est-ce que cela change tout de même le raisonnement ?

Je ne vois pas où dans ton raisonnement tu justifies explicitement que ?

[invite682be6e3]

Merci pour ton aide, j'ai finis la troisième partie de l'exercice grâce à ton aide,
pour le 2)a- je trouve donc u_n+1-u_n =1/5 est-ce juste ?

[invite682be6e3]

En supposant P_(n) vrai si je prouve que P_(n+1) est supérieur à P_(n) alors P_(n+1) est forcément plus grand que 0 vu que P_(n) l'est ?

[PlaneteF]

pour le 2)a- je trouve donc u_n+1-u_n =1/5 est-ce juste ?

Ben non c'est faux, ... si ce résultat était juste cela voudrait dire que serait une suite arithmétique de raison , ce qui n'est manifestement pas le cas !

Cdt

[invite8ab5fa54]

je trouve donc un+1-un =1/5 est-ce juste ?

Non , je doute fort que cette suite soit arithmétique.

[PlaneteF]

En supposant P_(n) vrai si je prouve que P_(n+1) est supérieur à P_(n) alors P_(n+1) est forcément plus grand que 0 vu que P_(n) l'est ?

Ce que tu écris là ne veut rien dire ... tu confonds et .

[invite682be6e3]

Alors j'ai réussis à rectifier ma démonstration du 1)b je trouve donc :
u₀ = 1/2>0
On suppose u_n>0 pour n quelconque (c'est ici où je me suis trompé donc..)
u_n+1= 3u_n/1+2u_n>0 car 3u_n>0 et 1+3u_n>0
Donc u_n+1>0, donc pour tout n appartenant à N, u_n>0

je continue de chercher pour la 2)a et b...

[PlaneteF]

u_n+1= 3u_n/1+2u_n>0

Cette écriture est fausse : N'oublie pas les parenthèses comme je te l'ai déjà fait remarquer !

Cdt