Fonctions

[invite9f2bcfdc]

Bonjour,

Je suis bloquée pour la résolution d'un exercice sur les fonctions. Voici l'énoncé :

Soit g la fonction définit sur [0 ; +oo[ par : g(x) = x-4(√x)+4
Traduire en langage courant la proposition suivante et la démontrer :
∀M ≥0,∃x ϵ [0 ; +oo[, g(x)≥M

J'ai donc trouvé en langage courant qu'elle signifiait : "Pour tout point M supérieur ou égal à 0, il existe au moins un réel x appartenant à l'intervalle [0; +oo[ tel que g(x)≥M "
Par contre je n'arrive pas à la démontrer...

Auriez-vous des conseils à me donner ?

Bonne journée.
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[PlaneteF]

Bonjour,

J'ai donc trouvé en langage courant qu'elle signifiait : "Pour tout point M supérieur ou égal à 0, il existe au moins un réel x appartenant à l'intervalle [0; +oo[ tel que g(x)≥M "

n'est pas un point, c'est un réel ; du coup ton début de phrase ne veut rien dire.

Auriez-vous des conseils à me donner ?

L'expression de doit te faire penser à une identité remarquable connue.


Cordialement

[invite9f2bcfdc]

Merci de m'avoir signalé cette erreur. En effet, on parle ici de réel et non de point.

Pour l'identité remarquable j'ai trouvé g(x)=(√x-2)².

J'ai essayé de résoudre une inéquation mais je n'ai abouti à rien de concluant...
Pour que je démontre la proposition, comment faut-il que je fasse pour choisir le réel M ? Y a-t-il un autre moyen de démontrer la proposition ?

[invite8ab5fa54]

Bonsoir ,
Si tu penses que tu dois choisir le réel M c'est que tu n'as pas bien compris la proposition.
Pour un réel M fixé, ce que tu dois trouver , c'est le réel qui convient, en fonction de M , c'est à dire un réel , qui s'exprime en fonction de M , tel que .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5805c432]

on peut faire plus simple, cette declaration signifie que g n'est pas bornée supérieurement.
et ta fonction est evidemment pas bornée superieurement sur R+, elle converge vers l'infini.

[invite9f2bcfdc]

Merci pour vos précisions, j'ai maintenant bien compris ce qu'il fallait trouver. Mais je ne sais toujours pas comment m'y prendre. Faut-il que je résolve quelquechose dans le genre g(xm)>_M ? Mais je ne vois pas trop comment faire vu que je n'ai aucune idée de quelle valeure pourrait être M ainsi que xm...
Mon idée d'inéquation est-elle correcte ?

[invite70a4b09f]

Bonsoir
Il faut utiliser le théorème des valeurs intermédiaires pour avoir l'existence.

[PlaneteF]

Bonsoir,

Merci pour vos précisions, j'ai maintenant bien compris ce qu'il fallait trouver. Mais je ne sais toujours pas comment m'y prendre. Faut-il que je résolve quelquechose dans le genre g(xm)>_M ? Mais je ne vois pas trop comment faire vu que je n'ai aucune idée de quelle valeure pourrait être M ainsi que xm...
Mon idée d'inéquation est-elle correcte ?

Si l'on se donne , il est très facile de trouver un tel que

Il suffit de considérer , et l'inéquation précédente devient ... je te laisse le soin de conclure.


Cordialement

[invite9f2bcfdc]

Il faut donc que je remplace x par une valeur supérieure ou égale à 4 pour faire la démonstration ?

[PlaneteF]

Il faut donc que je remplace x par une valeur supérieure ou égale à 4 pour faire la démonstration ?

Non, ... tu considéres et tu résous l'inéquation en suivante :


Cdt