Inéquation logarithmes

[invite2b0650e6]

Bonsoir,

J'aimerais résoudre
,
le problème est que je ne sais pas comment procéder. Si j'applique la fonction , j'obtiens

et je suis bloqué.

Merci de votre aide
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[gg0]

Bonjour.

n est un entier ? dans ce cas, les puissances de 2 augmentant très rapidement, une étude exhaustive des petites valeurs de n suffit. Pour justifier qu'il n'y a pas d'autres cas, noter que n-1 augmente de 1 quand n augmente de 1, et pour n supérieur à la dernière solution, 2^(n-3) augmente bien plus.

Cordialement.

[invitedd63ac7a]

Il s'agit d'une inéquation transcendante, c'est à dire qu'elle ne peut être résolue algébriquement. Un bonne façon de savoir d'abord si elle a une solution ou non est d'étudier la fonction suivante sur un certain intervalle de IR.

[invitef8c9810e]

on a:
2^n-3 < n-1
log2^n-3 < log(n-1)
n-3 < log(n-1) or log(n-1)=ln(n-1)/ln10
n-3 < ln(n-1)/ln10
n-3 <lnn×ln-1/ln10
n-3 < lnn/ln10
n-3 < lnn-ln10
n-lnn < 3-ln10 à partir la solution apparaît claire

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

à partir la solution apparaît claire

...............

Et avec un calcul faux : Dès la troisième ligne, le 2 est perdu corps et biens

[Titiou64]

sans oublier le ln(-1) à la ligne 5