DM Math inégalité sur les fonctions 1èreS Besoin d'aide

[Mayumi29]

Bonjour, j'ai cette question dans mon DM et je suis bloquée.

3) u est croissante sur I, v décroissante sur I et, pour tout nombres réel x de I ,u(x) ≥ 0, v(x)≤ 0.
Quel est le sens de variation de uv, faire un cas général


J'ai fait des exemple et trouver que la courbe est décroissante mais pour la démonstration j'ai le début mais après je suis coincée :

Si u est croissante sur I et v est décroissante sur I, u(x) ≥ 0 et v(x)≤ 0
Pour a et b de même signe,
Si a<b, alors 0≤u(a)≤u(b)
et v(a)≥v(b)≤ 0
alors u(a)≤u(b)
et 1/v(a)≤1/v(b)
alors u(a)*1/v(a) ≤u(b) *1/v(b)
Voilà ou j'en suis mais après ça je suis coincée !

Merci d'avance pour votre aide.
-----

[Mayumi29]

Désolé pour le double post mais j'ai continué de chercher et je pense avoir trouver mais je ne suis pas du tout sure ...
Si u est croissante sur I et v est décroissante sur I, u(x) ≥ 0 et v(x)≤ 0
Pour a et b de même signe,
Si a<b, alors 0≤u(a)≤u(b)
et v(a)≥v(b)≤ 0
alors u(a)≤u(b)
et 1/v(a)≤1/v(b)
alors u(a)*1/v(a) ≤u(b) *1/v(b)
alors u(a)/v(a)≥u(b)/v(b)
alors u(a)*v(a)≥u(b)*v(b)
alors (uv)(a)≥(uv)(b)
L'ordre est changé donc uv est décroissante sur I ...
Je pense que c'est ceci merci de me corriger SVP

[ansset]

tu peux faire plus court.
si v(x)<=0 et décroissante
quand est il de -v(x) ?
tu peut rapidement en déduire la variation de -u(x)v(x) et donc son opposée.

[Mayumi29]

J'ai compris, merci ... il y a la dernière question aussi :

dans chaque cas trouver deux fonction u et v croissante sur un intervalle I telles que

a) uv est croissante sur I
b) uv est décroissante sur I
c) uv n'est pas monotone sur I

J'ai fait ça mais ça me parrait bizzare :

a)uv est croissante sur I
u(x) = 2
v(x) = 3
(uv)(x) = 6. Ces fonctions sont constantes donc croissantes.

b) uv est décroissante sur I
u(x) = 5
v(x) = 4
(uv)(x) = 20. Ces fonctions sont constantes donc décroissantes.

c) uv n'est pas monotone sur I
u(x) = 2x
v(x) = x+3
Ces deux fonctions sont affines à coefficients directeurs positives donc croissantes.

u(-5) = 20
u(-3) = 0
u(2) =20
u(2)= u(-5)>ou= u(-3)
uv n'est pas monotone sur I

Merci !

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

je comprend mal ou est ta ou tes questions ,
peux tu préciser ?
je revient ds environ 1/4 d'heure.
cordialement.

[ansset]

une fonction constante ne peut pas être considérée comme croissante ou décroissante, elle est monotone.
pb d'énoncé ?

[PlaneteF]

si v(x)<=0 et décroissante
quand est il de -v(x) ?
tu peut rapidement en déduire la variation de -u(x)v(x) et donc son opposée.

Salut ansset,

Cela suppose de montrer que le produit de 2 fonctions croissantes et positives est croissant (c'est simple à faire mais il faut quand même le justifier).

Cordialement

[gg0]

Si, si, une fonction constante est croissante; et aussi décroissante. Regarde les définitions.

Je n'ai pas compris ton "elle est monotone". Monotone veut dire soit croissant, soit décroissant. L'ensemble des fonctions monotones est la réunion de l'ensemble des fonctions croissantes et de l'ensemble des fonctions décroissantes.

Cordialement.

[ansset]

Cela suppose de montrer que le produit de 2 fonctions croissantes et positives est croissant (c'est simple à faire mais il faut quand même le justifier).

exact, pour être très propre ,mais une ligne suffit, et je ne suis pas certain que le prof attende cette justification
qu'ils ont probablement vu en cours.

Je n'ai pas compris ton "elle est monotone". Monotone veut dire soit croissant, soit décroissant. L'ensemble des fonctions monotones est la réunion de l'ensemble des fonctions croissantes et de l'ensemble des fonctions décroissantes.
.

là , je fais amende honorable sur la définition de la "monotonie".
très mauvaise lecture et interprétation.
désolé.

[ansset]

@gg0:
vraiment désolé pour la notion de monotonie , j'ai un peu ( shame on me ) !

[PlaneteF]

exact, pour être très propre ,mais une ligne suffit, et je ne suis pas certain que le prof attende cette justification

Personnellement, je ferais cette démonstration de manière rigoureuse avec une seule égalité et en n'utilisant aucune propriété, juste ce que donne l'énoncé, de la manière suivante :

Soient .

On peut écrire :





Cdt

[Mayumi29]

Nous n'avons pas vu cette démonstration en cours c'est pour cela que j'ai été si précise (cf énoncée)

Pour la question 3 je ne comprend toujours pas ... Ce que j'ai fait est bon ou pas ?

[ansset]

j'écrirai plus simplement
si a<b
alors u(b)=)u(a)+x ( x>=0) et idem
v(b)=v(a)+y ( y>=0)
donc u(b)v(b)= u(a)v(a)+ xv(b)+yu(a)+xy avec tous les termes positifs ou nuls.

[PlaneteF]

j'écrirai plus simplement

Je ne pense pas : 3 égalités au lieu d'1, et l'utilisation de 2 nouvelles variables

v(b)=v(a)+y ( y>=0)

Non, car est décroissante.


Cdt

[ansset]

Non, car est décroissante.
Cdt

c'est nouveau ça !
on parlait de la multiplication de deux fonctions positives et croissantes.
u et -v depuis le début.
qu'on peut appeler w.
mais comme tu fais dans le formalisme absolu ( genre jesuite ), cela devient difficile

[PlaneteF]

Moi je te parle de l'énoncé donné dans le premier message.

Cdt

[ansset]

et en remplaçant -v par w dans ma précédente équation,
il me semble que c'est plus lisible par un élève de cette classe que ton équation.
j'espère que tu n'es pas prof, sinon, je fais école buissonnière comme en permanence quand j'étais gosse.

[PlaneteF]

il me semble que c'est plus lisible (...)

Question de point de vue, ... il me semble l'exact contraire.

(...) par un élève de cette classe (...)

Comme je le dis souvent, on peut rédiger aussi certains messages à la lecture du plus grand nombre.

(...) ton équation.

Ce n'est pas spécifiquement la mienne, ... et tu sais quoi, je serais d'avis d'ériger l'égalité au rang d'identité remarquable

j'espère que tu n'es pas prof, sinon, je fais école buissonnière comme en permanence quand j'étais gosse.

Jugement implicite à mon endroit, mais je me sens nullement contrarié à sa lecture.


Cordialement

[Mayumi29]

Nan on parle d'une fonction u croissante et d'une fonctiuon v décroissanste, u(x)>ou= 0 et v(x)<ou= 0

[PlaneteF]

Nan on parle d'une fonction u croissante et d'une fonctiuon v décroissanste, u(x)>ou= 0 et v(x)<ou= 0

Oui, ... d'où la démonstration donnée en message#11.

Cdt

[Mayumi29]

Désolé je n'avais pas actualisé ma page et un répondu a une message d'il y a une heure

[ansset]

désolé Planete , mais je pense continuer à penser que mon mess #3 est plus lisible et productif que ton mess #11
si on on prend w=-v
alors uv=-uw.
sachant que u et w sont croissantes et positives.
leur multiplication est forcement croissante et positive. ( une ligne suffit si on veut faite absolument ds le formalisme )
donc l'inverse ....

[Mayumi29]

@ansett Après le plus court n'est pas fornément le plus simple, ma démonstration est peut etre longue(#2) mais je la trouve plus simple....

[PlaneteF]

désolé Planete , mais je pense continuer à penser que mon mess #3 est plus lisible et productif que ton mess #11

L'égalité que je donne en message#11 n'a absolument rien d'ésotérique. Bien au contraire, je dirais même que cela fait partie de l'arsenal à acquérir, et j'avais justement en tête cette idée de message "productif" pour reprendre ton vocabulaire.

Exemple : Si l'on veut démontrer la formule

On peut écrire : , ... etc ...


On retrouve ce procédé dans bien d'autres endroits en analyse et c'est important de le connaître.

Alors après on peut toujours faire du nivellement par le bas en disant "hou là là, c'est bien trop compliqué pour des premières, restons en à des , ...". Personnellement je ne conçois pas un forum de cette manière, au contraire je le pense plutôt comme un endroit d'approfondissement et de tirage vers le haut. Et je ne parle pas que des maths, je parles de tous les forums, tous sujets, sur Futura Sciences ou ailleurs.


Cordialement

[ansset]

pffffff ! tout ça pour ça !
à lui ou elle de voir de qui lui le convient le mieux , non ?

[PlaneteF]

pffffff ! tout ça pour ça !

C'est-à-dire ?? ...

à lui ou elle de voir de qui lui le convient le mieux , non ?

Qui a dit le contraire ? Pas moi !


Cdt

[PlaneteF]

Si u est croissante sur I et v est décroissante sur I, u(x) ≥ 0 et v(x)≤ 0
Pour a et b de même signe,
Si a<b, alors 0≤u(a)≤u(b)
et v(a)≥v(b)≤ 0
alors u(a)≤u(b)
et 1/v(a)≤1/v(b)
alors u(a)*1/v(a) ≤u(b) *1/v(b)
alors u(a)/v(a)≥u(b)/v(b)
alors u(a)*v(a)≥u(b)*v(b)
alors (uv)(a)≥(uv)(b)
L'ordre est changé donc uv est décroissante sur I ...

Bonjour,

Cette démonstration est totalement fausse quasiment de bout en bout. Il y a pratiquement une erreur de raisonnement à chaque passage de lignes !


Cordialement

[ansset]

@Planete:
je ne veux pas polémiquer. ( surtout avec toi )
ce sont deux résolutions qui sont valables.
ensuite , je ne sais juger celle que le posteur apprécie/comprend le mieux.
cordialement.

[PlaneteF]

je ne veux pas polémiquer. ( surtout avec toi )
ce sont deux résolutions qui sont valables.
ensuite , je ne sais juger celle que le posteur apprécie/comprend le mieux.

Le plus important dans cette histoire c'est que Mayumi29 soit conscient(e) que sa démonstration est archi fausse comme je l'ai indiqué dans mon message#27 précédent.

Cela montre beaucoup trop de lacunes auxquelles il faut absolument remédier, surtout en étant en première.

Par exemple, on a pas le droit de multiplier 2 inégalités membre à membre froidement sans se poser la question des signes. Hors dans les 2 membres de cette inégalité sont justement négatifs ! ... Du coup patatra !

Et il y a ensuite d'autres erreurs commises.

Cdt

[Mayumi29]

@ PlaneteF

ça t'embêterait de toutes les énnoncer STP ?