Somme des carrés

[invite186ec892]

Bonjour,
J'ai beaucou de mal à résoudre l'un des exercice de mon DM, qui est le suivant :

1) Déterminer un polynôme p de degrés 3 tel que: p(x+1)-p(x)=x²
2) Factoriser p(x)
3) Additionner membre à membre les égalités:
p(n+1)-p(n)= ...
p(n)-p(n+1)= ...
...
...
...
p(2)-p(1)=...
En déduire la somme: S_n=1²+2²+...+n²


Merci d'avance !
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[phys4]

Bonjour,

1) Déterminer un polynôme p de degrés 3 tel que: p(x+1)-p(x)=x²

Le polynôme ne peut être du second degré, car alors le terme en x² s’éliminerait, il faut donc essayer un polynôme du troisième degré :

il faut essayer P(x) = Ax³ + Bx² + Cx + D

il faut ensuite écrire la condition et en déduire A, B et C, pour D on peut poser D =0 car il s'élimine dans la soustraction.

[invite186ec892]

Je n'avais absolument pas penser à cette solution. Je vais essayer et vous suis très reconnaissante !

[phys4]

Il y a surement une erreur ici :

3) Additionner membre à membre les égalités:
p(n+1)-p(n)= ...
p(n)-p(n+1)= ...
...
...
...
p(2)-p(1)=...
En déduire la somme: S_n=1²+2²+...+n²

Je suppose qu'il faut lire :
p(n+1)-p(n)= ...
p(n)-p(n-1)= ...
...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite186ec892]

C'est exacte, autant pour moi