Ensemble de points

[kaderben]

Bonjour

Il s'agit de déterminer un ensemble de points.

D'abord je voulais savoir ceci:

Pour démontrer quelquechose, quelquefois l'énoncé précise si on doit démontrer une implcation ou une équivalence comme ceci:
démontrer que si ..... alors..... qui est une implication.
démontrer que... si et seulement si... qui est une équivalence, là il faut démontrer l'implication et sa réciproque.

Voici un exemple ou l'énoncé ne précise rien:

Dans le plan complexe (o,u,v) on donne: A(-1-i)
M(z) est un point du plan.

Déterminer l'ensemble (E) des points M tels que: z+1+i=V(5)*e^(teta), teta réel, V(5)=racine de 5

Réponse:
z-(-1-i)=V(5)*e^(teta)
MA=V(5) par égalité des modules
argument(z-(-1-i))=(u,AM)=teta (2Pi) par égalité des arguments.

Donc l'ensemble (E) est le cercle de centre A et de rayon V(5)

Est ce correcte? Ou est ce que c'est incomplet ?

Merci pour vos comentaires
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[gg0]

Bonjour.

Ton énoncé étant flou (qui est thêta ?) je ne me prononcerai pas sur la correction que tu donnes. Mais la détermination d'un ensemble de points est clairement une question d'équivalence : Tu as un certain ensemble E, mal connu, et tu veux montrer que c'est l'ensemble bien connu F (un cercle par exemple). Donc tu montres que


Très souvent, on montre d'abord que les éléments de E sont dans F, puis on examine, pour un point quelconque de F, s'il est bien dans E. Ce qui revient à traiter séparément le sens direct et le sens réciproque.

Cordialement.

[kaderben]

Bonjour ggO
J'ai précisé teta dans mon message; teta réel. regarde ceci

Déterminer l'ensemble (E) des points M tels que: z+1+i=V(5)*e^(teta), teta réel, V(5)=racine de 5

Je vais traiter

Très souvent, on montre d'abord que les éléments de E sont dans F, puis on examine, pour un point quelconque de F, s'il est bien dans E. Ce qui revient à traiter séparément le sens direct et le sens réciproque.

[gg0]

Bonjour.

thêta réel ne dit pas quelles valeurs il peu prendre. Si thêta est fixe, alors il y a un seul point, si où k varie dans , alors l'ensemble est constitué des sommets d'un hexagone centré à l'origine, etc.

J'imagine qu'il s'agit de l'ensemble de ces points lorsque thêta prend toutes les valeurs réelles. Une notation mathématique précise est alors claire :


Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Bonjour,

On peut même se demander si ce ne serait pas

[gg0]

Effectivement, Médiat !

En fait, suite à la "correction" proposée, j'ai lu un i qui n'était pas dans l'énoncé, et j'ai copié/collé sans réfléchir !

Cordialement.

[kaderben]

Excuse moi ggO, j'ai oublié l'imaginaire i, Mediat a raison donc il faut lire:

z+1+i=V(5)*e^(i*teta)

teta réel quelconque (teta n'est pas fixé)

V(5)*e^(i*teta) est l'écriture exponentielle du nombre complexe.

[kaderben]

Je reprends:

Si M(z) du plan est tel que: z+1+i=V(5)*e^(i*teta), teta réel quelconque, alors
z-(-1-i)=V(5)*e^(i*teta)
MA=V(5) par égalité des modules
argument(z-(-1-i))=(u,AM)=teta (2Pi) par égalité des arguments.
Donc M est sur le cercle de centre A et de rayon V(5)

Réciproquement, si N est sur le cercle de centre A et de rayon V(5) alors
l'affixe du vecteur AN est zN-zA=z-(-1-i)=z+1+i et I zN-zA I=V(5)
arg(zN-zA)=(u,AN)=alpha, alpha réel quelconque car N sur le cercle
L'écriture complexe de zN+1+i est: V(5)*e^(i*alpha)
zN+1+i= V(5)*e^(i*alpha)

Conclusion: (E) est le cercle de centre A et de rayon V(5)

Est ce que c'est complet et correcte ?

[gg0]

Il manque juste "donc N est dans E avant la conclusion générale.

Cordialement.

[kaderben]

Merci ggO pour la précision:

donc N est dans E

Est ce que quelqu'un peut me donner un exercice à faire sur un ensemble de points ou' justement les deux ensembles ne sont pas égaux
c'est à dire: si M dans (E), M n'est pas dans (F)

J'ai regardé dans mes documents et je n'ai pas trouvé d'exemples.

[gg0]

Par exemple :
Soit E l'ensemble des points du plan dont les coordonnées (x,y) dans un repère orthonormé vérifient . Déterminer E.

On peut le faire par équivalences (avec beaucoup de soin), mais fais le par implications réciproques.

Cordialement

[kaderben]

Si M(x,y) du plan est tel que:V(x²+y²-6x-8y+25)=1 alors
x²+y²-6x-8y+25=1 car V(X)=a équivaut à X=a² si a>=0
(x-3)²+(y-4)²=1 (en apparence c'est le cercle de centre (3;4) et de rayon 1)

Si N(x,y) sur le cercle de centre I(3;4) et de rayon 1 alors
IN²=1, vecteur IN
(x-3)²+(y-4)²=1
Les deux membres sont positifs
Je suis tenté d'écrire:V((x-3)²+(y-4)²)=1 et dire que N est dans (E) mais je ne suis pas sûr!

Si c'est juste alors (E) est le cercle de centre (3;4) et de rayon 1

C'est la racine carrée qui me gene un peu, et pourtant c'est du calcul algébrique!
si a=b ,a et b positifs on peut écrire V(a)=V(b) et non V(a)=V(b) ou V(a)=-V(b)

[kaderben]

Mais l'équation d'un cercle ne commence pas par une racine carrée....

[gg0]

Quelle drôle d'idée !

D'abord "l'équation", comme s'il n'y avait qu'une seule équation possible ! Ensuite voici une équation du cercle de centre O(0,0) et de rayon 1 :


Bon, plus sérieusement, tu as montré que tout point de E est un élément de F, le cercle de centre (3;4) et de rayon 1.
Reste à voir si tous les points de F sont dans E. A toi de réfléchir... et si c'est le cas, E=F

Je te rappelle simplement que donne automatiquement une valeur unique évidente à a et b.

En fait, j'ai construit trop rapidement mon exemple. Il faut prendre pour E l'ensemble des points M(x,y) tels que

Cordialement.

[kaderben]

Evidemment, V(a)=-V(b) que si a=b=0 (j'avais la tête ailleurs!)

Par étude du signe du trinôme, -x²+6x-8>=0 pour 2<=x<=4. (E) est défini pour 2<=x<=4
Si M(x,y) tels que y=4+V(-x²+6x-8) alors
(y-4)²=-x²+6x-8=-(x²-6x+8)=-((x-3)²-1)=)=-(x-3)²+1
(x-3)²+(y-4)²=1
M sur le cercle de centre I(3;4) et de rayon 1
La totalité du cercle est dans la bande limitée par les droites x=2 et x=4

Réciproquement, si N(x;y) est sur ce cercle alors
vecteur IN(x-3;y-4)
IN²=1
(x-3)²+(y-4)²=1
N est sur le cercle de centre I et de rayon 1 et ce cercle est dans la bande limitée par les droites x=2 et x=4

Donc (E) est le cercle de centre I et de rayon 1

Qu'en penses tu ?

[gg0]

Euh ... dans la réciproque, tu prouves que si N est sur le cercle, alors N est sur le cercle. pas besoin d'écrire 6 lignes pour cette évidence.

[kaderben]

Oui je me répète!

Mais ce que j'ai demandé dans mon message c'est d'avoir, si possible, un exercice ou' les deux ensembles E et F ne sont pas égaux, c'est à dire si M est dans E, dans la réciproque on obtient que N n'est pas dans E.

[gg0]

Ce que tu écris n'a aucun sens : si M est dans E, dans la réciproque on obtient que N n'est pas dans E.

Sois sérieux : Le sens direct est "si M est dans E, alors M est dans F". Le sens réciproque est "si M (*) est dans F, alors M est dans F", ou, comme dans cet exemple "Si M est dans telle partie de F, alors M est dans E"(**)
Toi tu as dit que "si N est dans F, alors N est dans F". relis-toi et essaie de comprendre ce que tu as écrit !

Cordialement.

(*) Pourquoi changer de nom, M ou N, quelle importance ?
(**) Ce qui permet de justifier que cette partie est dans E, puis, si aucun autre point de F n'est dans E, que E est cette partie de F.

[kaderben]

Sois sérieux : Le sens direct est "si M est dans E, alors M est dans F". Le sens réciproque est "si M (*) est dans F, alors M est dans F"

Peut être je me suis mal exprimé!

Est ce qu'il y a des cas ou' la réciproque peut être fausse ? Et dans ce cas les ensembles E et F ne sont pas identiques, je pense.

Si ma question n'a aucun sens n'en tiens pas compte car je ne sais si elle a un sens.

[gg0]

Je t'en ai donné un exemple, tu ne l'as pas traité.

C'est dans ta tête que se fait la compréhension. Inutile de poser des questions quand tu ne réfléchis pas aux réponses.

[kaderben]

Bonjour

Voilà, j'ai trouvé ce je voulais savoir!

J'ai fait une confusion totale dans mes précédents messages.

Voici un exemple qui illustre ce que je voulais dire
f est l'application de C\{1} dans C qui, à tout z différent de 1 associe z'=f(z)=(z+2i)/(z-1)

Si M (z) décrit le cercle de centre A(1) et de rayon R>0 quel ensemble décrit par M'(z) ?

Réponse:
z=(z'+2i)/(z'-1), z' différent de 1
Si M est sur le cercle de centre A et de rayon R>0 alors:
AM=R
I z-1I =R
I (z'+2i)/(z'-1)-1I=R
I(2i+1)/(z'-1I=R
V(5)/AM'=R
AM'=V(5)/R
donc M' sur le cercle de centre A et de rayon V(5)/R

Réciproquement, si M' sur le cercle de centre A et de rayon V(5)/R alors
AM'=V(5)/R
Iz'-1I=V(5)/R
.
.
I(2i+1)/(z-1)=V(5)/R
V(5)/AM=V(5)/R
AM=R
M sur le cercle de centre A et de rayon R

Conclusion: M' décrit le cercle de centre A et de rayon V(5)/R

Dans cet exemple, les deux ensembles ne sont pas égaux et c'est ce que j'avais dans la tête.

J'avoue que dans ce topic j'ai appris pas mal de choses sur les ensembles de points.

Merci pour tout et à la prochaine pour d'autres questions.