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**lonijuga** · 05/09/2015, 18h18

Bonjour , j'ai un exercice dans lequel Un+1=-Un+4 avec U0=3 , j'ai calculé U1(1), U2(3), U3(1), U4(3) et U5(1). On me demande de conjecturer Un en fonction de n, je n'y arrive pas. En effet je fais +2, -2... Et je ne vois pas a quoi ça correspond. Merci de m'aider.

**Dynamix** · 05/09/2015, 18h33

Salut

Envoyé par lonijuga

Un+1=-Un+4 avec U0=3

Tu veux dire :
U_n+1=-U_n+4 avec U₀=3
ou
U_n+1=-U_n+4
Ou autre ?

**PlaneteF** · 05/09/2015, 18h53

Bonsoir,

Envoyé par Dynamix

Tu veux dire :
U_n+1=-U_n+4 avec U₀=3
ou
U_n+1=-U_n+4
Ou autre ?

Si tu regardes les résultats des premiers calculs donnés par lonijuga, c'est bien : $\text{[math]}$

Cordialement

**lonijuga** · 05/09/2015, 18h59

Oui dsl c'est bien -Un + 4

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**PlaneteF** · 05/09/2015, 19h03

Les premiers termes de la suite sont : 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1 ... et tu peux continuer comme cela.

Donc tu peux distinguer les termes de rang pair et de rang impair.

Tu peux aussi exprimer $\text{[math]}$ en utilisant $\text{[math]}$

Cdt

**Dynamix** · 05/09/2015, 19h09

Envoyé par PlaneteF

Si tu regardes les résultats des premiers calculs donnés par lonijuga, c'est bien : $\text{[math]}$

Je sais , mais moi je ne suis pas à l' école , et je n' ais pas à apprendre la rigueur dans l' écriture d' une formule mathématique .

**lonijuga** · 05/09/2015, 19h09

Un=(-1)puissance n+2... Il me semble

**PlaneteF** · 05/09/2015, 19h13

Envoyé par lonijuga

Un=(-1)puissance n+2... Il me semble

Oui, ...

Tu peux aussi dire : Si $\text{[math]}$ est pair, alors $\text{[math]}$ , et si $\text{[math]}$ est impair, alors $\text{[math]}$ , ... ce qui de toute manière revient au même.

Cdt

**lonijuga** · 05/09/2015, 19h14

Merci beaucoup, y avait il un moyen, une règle pour trouver ?

**PlaneteF** · 05/09/2015, 19h18

Envoyé par lonijuga

Merci beaucoup, y avait il un moyen, une règle pour trouver ?

Ben c'est une conjecture, donc cela peut faire appel à l'intuition, l'imagination, la visualisation, etc ... Maintenant ici, cette conjecture était particulièrement simple à "deviner" puisque l'alternance saute aux yeux !

Cdt

**Dynamix** · 05/09/2015, 19h24

Tu peux montrer que :
U_n = 3 => U_n+1 = 1
U_n = 1 => U_n+1 = 3
Et prendre en compte U₀ = 3

**lonijuga** · 05/09/2015, 19h25

J'avais vu l'alternance mais il me fallait Un en fonction de n pour démontrer par la suite. Merci et bonne soirée

**PlaneteF** · 05/09/2015, 19h30

Envoyé par lonijuga

J'avais vu l'alternance mais il me fallait Un en fonction de n pour démontrer par la suite. Merci et bonne soirée

Une remarque importante :

Il y a une différence entre "énoncer une conjecture" et "démontrer une conjecture". Jusque là on a juste énoncé une conjecture, mais on ne l'a pas démontré. Après je ne sais pas ce que te demande exactement ton énoncé.

Cdt

**lonijuga** · 05/09/2015, 19h38

Je devais l'énoncer puis la démontrer par récurrence. Je vais essayer

**Maths1234** · 05/09/2015, 21h23

J'ai le même exercice et je n'ai pas compris comment on faisait la conjecture de l'expression Un-3. J'ai en effet remarqué que du premier au second terme on ajoutait 2 puis du second au troisième on soustrait deux. Mais je vois pas comment on fait pour conjecturer cela.

**PlaneteF** · 05/09/2015, 22h32

Envoyé par Maths1234

J'ai le même exercice et je n'ai pas compris comment on faisait la conjecture de l'expression Un-3. J'ai en effet remarqué que du premier au second terme on ajoutait 2 puis du second au troisième on soustrait deux. Mais je vois pas comment on fait pour conjecturer cela.

Si pour les premiers termes $\text{[math]}$ tu as $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , pour les premiers termes de $\text{[math]}$ tu auras donc $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .

Ainsi tu peux conjecturer que : $\text{[math]}$

... et donc on retombe bien sur le $\text{[math]}$ évoqué précédemment.

Ensuite la démonstration par récurrence de cette conjecture se fait très facilement.

Cdt

**Maths1234** · 06/09/2015, 13h06

Merci, mais je ne comprend pas ce qu'est en faite Un-3 quel est le calcul que tu fais pour trouver 0, -2, 0, -2.....

**PlaneteF** · 06/09/2015, 13h10

Ben c'est carrément évident :

Si $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$

Et si $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$

Cdt

**Dynamix** · 06/09/2015, 13h35

Envoyé par PlaneteF

Tu peux aussi dire : Si $\text{[math]}$ est pair, alors $\text{[math]}$ , et si $\text{[math]}$ est impair, alors $\text{[math]}$ , ... ce qui de toute manière revient au même.

Ou , plus général :,
Si n est pair U_n = U₀
Si n est impair U_n = 4-U₀

**Maths1234** · 06/09/2015, 13h48

D'accord merci et si ça ne vous embête pas est ce que vous pourriez m'expliquer la conjecture suivante : Un-3 = -1 + (-1)^n. Escusez moi mais j'ai vraiment des difficultés à le comprendre cet exercice.

**PlaneteF** · 06/09/2015, 13h50

Est-ce qu'au moins tu sais ce que donne $\text{[math]}$ en fonction de la parité de $\text{[math]}$ ?

Cdt

**Maths1234** · 06/09/2015, 14h00

Si n est impair dans 2+(-1)^n le résultat sera toujours 1 et à l'inverse si n est pair on obtiendra toujours 3.

**Dynamix** · 06/09/2015, 14h06

Envoyé par Maths1234

Si n est impair dans 2+(-1)^n le résultat sera toujours 1 et à l'inverse si n est pair on obtiendra toujours 3.

Tout bon .

**Maths1234** · 06/09/2015, 14h11

Merci mais ce que je ne comprend pas c'est comment vous avez trouvé cette conjecture. Je ne sais toujours pas pourtant depuis hier après midi j'essaie de comprendre mais je n'y arrive pas

**Dynamix** · 06/09/2015, 15h24

Tu part de :
U_n+1 = 4-U_n
U_n+2 = 4-(4-U_n) = U_n
U_n+3 = 4-U_n+2 = 4-U_n = U_n+1

**Dynamix** · 06/09/2015, 16h28

Envoyé par Maths1234

ah bon un+1=4-un
un+2=4-un+4-un non ?pas

Non

U_n+2 = 4 -(4-U_n) = 4-4+U_n= 0+U_n= U_n

**Maths1234** · 06/09/2015, 16h34

Merci de votre aide et de m'avoir accorder de votre temps mais malgré tout ça je ne comprend pas je ne sais pas ce qui me bloque du coup j'irai voir ma prof demain

**PlaneteF** · 06/09/2015, 18h47

Envoyé par Maths1234

Merci mais ce que je ne comprend pas c'est comment vous avez trouvé cette conjecture.

Comme je le disais précédemment, énoncer une conjecture fait appel à l'intuition et à l'imagination, ... donc d'une personne à l'autre cela peut-être différent.

Maintenant il est clair que la séquence 1, -1, 1, -1, ... fait immédiatement penser à $\text{[math]}$ .

Quant à la séquence 0, -2, 0, -2, 0, ... elle fait penser à la séquence précédente mais avec un décalage de -1.

Conclusion : On peut alors conjecturer que $\text{[math]}$

Cordialement

**Maths1234** · 06/09/2015, 19h22

Merci, j'ai enfin pu comprendre cette conjecture

**PlaneteF** · 06/09/2015, 19h24

Envoyé par Maths1234

Merci, j'ai enfin pu comprendre cette conjecture

Maintenant il faut la démontrer !

Cdt

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