Exercice SUITE TERM S

[invitec0ddc8e6]

Bonjour , voilà , j'ai un devoir a rendre et j'ai un probléme sur un exercice sur lequel je bloque ..
Si vous pouviez m'aider ( je ne demande pas de le faire a ma place ) sa serais gentil :

Soit (u_n) la suite définie par u₀= 1 et u_n+1 = αu_n + n + 1 pour n>=0

1 ) On suppose que α=0
Quelle est la nature de la suite (u_n) ? Que vaut la limite de (u[SUB]n[/SUB) en plus l'infini ?

Pour cette question j'ai trouvé que c'était une suite arithmétique de raison 1 et que la limite était + l'infinis .

2 ) On suppose que α = 1
a) Représenter graphiquement les 10 premiers termes de la suite (u_n).
b) Expliquer en quoi l'allure du nuage de poins obtenu permet de conjecturer que, pour tout n >=1, u_n=an² + bn + c où a , b et c sont des réels.
c) Déterminer les réels a, b et c puis démontrer la formule obtenue par récurrence. Que vaut la lim de u_n quand n tend vers l'infini ?


Donc voilà , je bloque à partir du 2)b) . Si quelqu'un pouvais m'aider sa serais extrémement gentil . Merci d'avance .
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[Lil00]

Bonjour,

b) Expliquer en quoi l'allure du nuage de poins obtenu permet de conjecturer que, pour tout n >=1, u_n=an² + bn + c où a , b et c sont des réels.

Regarde ton graphique : les points dessinés ne te font pas penser à un type de courbe que tu connais ?

[invitec0ddc8e6]

Elle ressemble a la courbe x² sur [o ; +oo [ non ?

[invitec0ddc8e6]

Ou plutot un polynôme de second degré aprés plus de réfléxion ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Lil00]

Effectivement, c'est ce qu'on appelle une parabole, donc une courbe représentative d'une fonction du second degré, qui te permet de conjecturer... ?

[invitec0ddc8e6]

Qui me permet de dire que effectivement u_n peut également s'écrire an²+bn+c ?

Jusque la j'ai reussis faire , je suis arrivé au stade ou il faut résoudre un systéme d'équation pour trouver A et B . J'ai déja trouvé C étant égal à 1 .
Mais je ne sais pas si j'ai bien fais de faire comme ça . ( je suis une vrai bille en math , je fais tout pour remonter mais bon c'est un peu dur )

[invited5639bc0]

Si, c'est bien, si tu as deux inconnus il te faut deux équations!

[invitec0ddc8e6]

Comme équation j'ai trouvé :
a + b + c = 3 => a + b + 1 = 3
4a + 2b + c = 6 => 4a + 2b + 1 = 6

Mais la encore une fois , bloqué :/ Je désespére --'

[invitec0ddc8e6]

Avec la méthode d'addition j'ai trouvé comme résultat : A = 0.5 et B = 1.5
Je sais pas pourquoi mais sa a pas l'air trés bon , pouvez vous me dire si j'ai juste ? SVP

[invited5639bc0]

Je n'ai pas les mêmes équations. Partant de:

un+1 = a(n+1)² + b(n+1) + c, en développant et en utilisant le fait que un= an² + bn + c

J'arrive à ce système:

a + b + c = 1
2a = 1

De toute façon tu peux vérifeir si tu as juste en calculant les termes de ta suite un et voir si tu retrouves les mêmes valeurs qui t'ont permis de tracer le graphe

[invitec0ddc8e6]

En vérifiant mes calculs je me suis rendu compte qu'ils n'était pas bon du tout .
Et même en partant de ton systéme je trouve que A = 0.5 , B = -0.5 et C = 1 . Ce qui aprés vérification n'est toujours pas bon .
Je suis vraiment bloqué la pour le coup .

[invited5639bc0]

Oui pardon j'ai fait une erreur. Mon système est

c = 1
a + b + c = 2
4a + 2b + c = 4

En fait il faut utiliser un= an² + bn + c et un+1=un + n + 1 pour 3 valeurs de n (0,1 et 2) et tu tombes sur ce système.

[invited5639bc0]

En fait ma première méthode était correcte aussi, c'est juste que je me suis trompé dans mon système (j'ai pas fait attention). Partant de:

un+1 = a(n+1)² + b(n+1) + c, en développant et en utilisant le fait que un= an² + bn + c

le système que tu obtiens est

a + b = 1 (et non pas a + b + c = 1)
2a = 1

C'est clair? (Désolé si je t'ai embrouillé...)

[invitec0ddc8e6]

Donc du coup sa fais que A = 0.5 et B = 0.5 aussi ?
Mais C il est passé ou dans tout ça ? ( désolé je suis un peu embrouillé )
Et merci sincérement pour votre aide .

[invited5639bc0]

Oui c'est ça! a = b = 1/2
Et c = 1

Regarde, pour reprendre depuis le début:

D'un côté tu as:

un+1 = a(n+1)² + b(n+1) + c et tu sais que un= an² + bn + c
Développe cette expression

D'un autre côté, tu sais que:
un+1 = un + n + 1

Or tu sais que 2 polynomes sont égaux si et seulement si leurs coefficients sont égaux (je suis pas sûr de la formulation exacte de cette règle mais en gros, ax² + bx + c = a'x² + b'x + c' ssi a=a', b=b', c=c')

A ce moment là, tu as ton système:

a + b = 1
2a = 1

Et finalement pour trouver c tu n'as qu'à poser n=0 dans les deux expressions de un+1, ce qui te donne

a + b + c = 2 (donc tu en déduis que c=1)

[invitec0ddc8e6]

Meeerci pour votre aide : )