Dm de math

[soso1414]

Bonjour,
J'ai un dm de math pour lundi, et je n'arrive pas!!
J'espère que vous pourrez m'aider...Merci d'avance pour votre aide!

Enoncé:Les mathématiciens de la Grèce antique ont découvert et démontré l'irrationalité de racine carre de 2 à une époque qu'il est difficile de déterminer mais qu'on estime entre le 5eme et le 4eme siècle avant J-C. Dans cet exercice, on va prouver que racine carre de 2 n'est pas un nombre rationnel.

On rappelle qu'un nombre pair est un multiple de 2 et qu'un nombre impair n'est pas un multiple de 2.Un nombre pair peut donc toujours s'écrire sous la forme 2k et un nombre impair sous la forme 2k+1 où k est un nombre entier naturel.

1.a)Démontrer que si un nombre N est pair alors N² est pair.
b)Que peut on en déduire si N²est impair ?

c) Démontrer que si un nombre N est impair alors N²est impair.
d)Que peut on en déduire si N²est pair.

2.Pour démontrer que racine carre de 2 n'est pas un nombre rationnel, on va supposer qu'il l'est et montrer que l'on arrive alors à une absurdité.

Supposons qu'il existe deux nombre entiers naturels a et b#0 tels que racine carre de 2=a/b avec a/b irréductible.

a)Monter qu'alors on a: a²=2b².
b)Que peut on en déduire quant à la parité de a²? Et de a?

3.On admet donc que a est un nombre pair.

a)La fraction a/b étant irréductible, peut on avoir a et b tous les deux pairs ?
b)Que peut on en déduire quand à la parité de b ?
c)Montrer que a²est un multiple de 4.Que peut on en déduire pour b²?Quelle est donc la parité de b ?

4.Conclure.

Voilà!! C'est un peu long...
J'ai déjà effectué la question 1.
Je comprends vraiment pas.
Merci d'avance pour votre aide.
-----

[phys4]

Bonjour,
Très bel exercice :
Pour 2a : pensez seulement à prendre le carré de la relation indiquée.

Ensuite recherchez la réponse la plus simple à chaque question, chaque phase du raisonnement est explicite.

[soso1414]

Bonjour,
Très bel exercice :
Pour 2a : pensez seulement à prendre le carré de la relation indiquée.

Ensuite recherchez la réponse la plus simple à chaque question, chaque phase du raisonnement est explicite.

J'avais pense a dire que il faut faire un produit en croix pour v2=a/b donc c'est égale à a²=2b²
Est ce ceci ?

[phys4]

Bien sur,

Ne cherchez pas de complications, tout cela n'a rien de difficile.

[A voir en vidéo sur Futura]

[soso1414]

Bien sur,

Ne cherchez pas de complications, tout cela n'a rien de difficile.

D'accord,je vous remercie!
Par contre je ne comprend pas la question 3.
Pouvez-vous m'aider svp.Merci

[phys4]

Lorsqu'une fraction a/b est irréductible, il ne peut y avoir de facteur commun à a et b

car s'il y en avait un ( a = k a' et b = k b') alors nous pourrions réduire la fraction puisque a/b = a'/b'

[soso1414]

Lorsqu'une fraction a/b est irréductible, il ne peut y avoir de facteur commun à a et b

car s'il y en avait un ( a = k a' et b = k b') alors nous pourrions réduire la fraction puisque a/b = a'/b'

Je vous remercie donc je dois noter ceci ?
Pour la question 3b) je dois mettre si b est pair ou impair mais je ne sais pas comment le trouve !
Que dois je faire ?

[PlaneteF]

Bonjour,

Relis ceci dans l'énoncé :

3.On admet donc que a est un nombre pair.

a)La fraction a/b étant irréductible, peut on avoir a et b tous les deux pairs ?

Sachant que la réponse de la question a) est "non", la réponse à la question b) est évidente.


Cordialement

[soso1414]

Bonjour,

Relis ceci dans l'énoncé :



Sachant que la réponse de la question a) est "non", la réponse à la question b) est évidente.


Cordialement

D'accord mais que dois je mettre, je ne comprend pas !

[PlaneteF]

D'accord mais que dois je mettre, je ne comprend pas !

Tu as vu que et ne peuvent pas être pairs en même temps, et on te dit que est pair.

--> La conclusion sur la parité de est donc évidente.

Cdt

[soso1414]

Tu as vu que et ne peuvent pas être pairs en même temps, et on te dit que est pair.

--> La conclusion sur la parité de est donc évidente.

Cdt

D'accord, j'ai compris !Merci beaucoup.
Et donc pour la question 3.c) je ne vois pas trop ce qu'il faut faire...
J'avais pense a mettre que a² est un multiple de 4 puisqu'il s'écrit sous la forme a²=2k².(si c'est cela, dois je le rédiger comme cela ??)
Par contre pour Que peut on en déduire quand a la parité de b²?Quelle est donc la parité de b?(Je n'arrive pas!)

[phys4]

J'avais pense a mettre que a² est un multiple de 4 puisqu'il s'écrit sous la forme a²=2k².(si c'est cela, dois je le rédiger comme cela ??)

Je pense qu'il faut être plus précis : si a² = 2 b² il faut que a² soit pair donc a est pair car le carré d'un impair est impair,
je peux donc écrire a = 2 a' et a² = 4 a'² donc a² doit être un multiple de 4

Il faut ensuite écrire 4 a'² = 2 b² et conclure après avoir simplifié.

[soso1414]

Je pense qu'il faut être plus précis : si a² = 2 b² il faut que a² soit pair donc a est pair car le carré d'un impair est impair,
je peux donc écrire a = 2 a' et a² = 4 a'² donc a² doit être un multiple de 4

Il faut ensuite écrire 4 a'² = 2 b² et conclure après avoir simplifié.

Je dois écrire tout se que vous avez dit ?
Quand vous dites conclure après avoir simplifie. Que dois je faire ?

[phys4]

Ce que j'ai écrit ne semble pas vous avoir permis de comprendre :

Lorsque vous avez obtenu 4 a'² = 2 b² donc 2 a'² = b²
vous vous trouvez dans la situation du début mais pour b , cela impliquerait b pair.

Par conséquent comme il est impossible d'avoir a et b pair en même temps, le fraction a/b ne peut pas exister.