Suite définie par récurrence (majoration minoration)

[invite392334cc]

Salut, dans un devoir, une des questions est la suivante:
On une suite définie comme suit: a(n+1)=1/3-a(n)
Question de clarification: tout ce qui est entre parenthèses est en indice.
a(1)=2
Montrer que 0<a(n)<=2
Je m'y suis pris séparément, prouvant que 0<an d'abord:
Proposition:
0<an
Vérifier pour a(1): 0<2 c'est donc vrai
Montrer pour a(n+1)
0<a(n)
0>-a(n)
3>3-a(n)
1/3<1/(3-a(n))
Ensuite pour a(n)<=2
a(n)<=2
-a(n)>=-2
3-an>=1
1/(3-an)=<1
a(n+1)=<1/5
donc
a(n+1)<=2
Je voudrais savoir si ça marche comme méthode.Merci.
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[invite392334cc]

ainsi, ma conclusion est : puisque
a(n)>1/3, donc, a(n)>0
a(n)<1, donc a(n)<=2

[invite392334cc]

Errata: a(n+1)=<1 au lieu a(n+1)=<1/5

[PlaneteF]

Bonsoir,

On une suite définie comme suit: a(n+1)=1/3-a(n)

Là tu viens d'écrire :

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite392334cc]

en effet, autant pour moi. c'est en fait1/(3-a(n)))

[PlaneteF]

(...) autant pour moi (...)

"au temps pour moi" ... mais cela fait débat !

[invite392334cc]

Haha dans ce cas au temps pour moi.

[PlaneteF]

Le problème de séparer en 2 inégalités comme tu le fais est ici :

0<a(n)
0>-a(n)
3>3-a(n)
1/3<1/(3-a(n))

Ainsi tu as juste supposé dans ton hypothèse de récurrence que , et du coup rien ne te garantit que te permettant d'écrire la ligne qui suit.

C'est pour cela qu'il faut faire ta récurrence globalement avec la double inéquation en supposant que :

Cdt

[invite392334cc]

En fait, pour passer à a(n)<=2, j'ai fait une seconde proposition, soit:
Proposition 2:
a(n)<=2
Vérifier pour a(1):
a(1)=2
2<=2 est vrai
J'ai écrit cela juste après 1/3<1/(3-a(n)) et avant "Ensuite pour a(n)<=2"

[invite392334cc]

Je veux dire que je l'ai écrit ainsi dans le devoir.

[PlaneteF]

J'ai écrit cela juste après 1/3<1/(3-a(n))

Et ben justement c'est bien ce que je dis, il est bien là le problème, à savoir que tu le mentionnes après alors que tu en as besoin avant comme je te l'ai signifié dans mon message précédent. Je le répète, un moyen de faire les choses proprement c'est de supposer directement la double inéquation sans faire de séparation, ... en plus cela rend la rédaction plus courte et plus claire.

Cdt

[invite392334cc]

1/3<1/(3-a(n))
Cette ligne me permet de conclure que a(n+1)>0
Je ne vois pas pourquoi j'aurai besoin de a(n)<=2, sachant que le premier terme a(1) =2 vérifie les deux inéquations.
Dans tout les cas, à quoi ressemblerait une démonstration où tout se fait dans une même double inéquation? Je n'arrive pas à le faire moi-même.

[PlaneteF]

1/3<1/(3-a(n))
Cette ligne me permet de conclure que a(n+1)>0

Sauf que cette ligne tu n'as pas le droit de l'écrire comme suite à tes lignes précédentes.

Toi ton raisonnement c'est de dire : ... Or tu n'as pas le droit d'écrire cela si

Et donc qu'est-ce qui te permet d'affirmer que ? ... Dans ce que tu as écrit auparavant, rien, et c'est là tout le problème !


Cdt

[invite392334cc]

Je vois, merci pour le coup de main.

[PlaneteF]

Bonjour,

Et pour ce qui est de la rédaction directement avec la double inéquation sans faire de séparation, cela donne :

Par récurrence, supposons que : . Il vient alors

Et là on voit bien toute la différence avec la méthode qui consistait à séparer les inéquations, c'est qu'ici les expressions qui sont en jeu dans cette double inéquation sont manifestement toutes strictement positives, et du coup j'ai le droit d'inverser tout cela joyeusement afin d'obtenir le résultat voulu !

Cdt