Factorisation du troisième degré
Bonjour.
Je ne comprends pas comment on peut passer de 30x^3 -120x²-750 à 30(x-5)(x²+x+5) ?
Je sais que si on développe la deuxième expression on tombe sur la première, mais je voudrais savoir comment j'aurais pu trouver la forme factorisée seule.
Merci d'avance.
déjà tu vois que tu peux mettre 30 en facteur de x^3-4x²-25. Ensuite tu remarque que 5 est une racine "évidente" du polynôme car 125-100-25=0, ce qui veut dire que tu peux mettre en facteur (x-5). Ensuite, mais ce n'est pas de ton niveau, tu peux faire une division de polynôme. X^3 c'est x² * x, donc tu écris x^3-4x²-25=(x-5)*(x²+ax+b). si tu développe tu vois que tu as le bon terme en x^3, puis en x² tu as -5x²+ax² donc qu'il faut prendre a=1. Ensuite tu calcules b pour que ton terme constant soit égal à -25
Les bonnes idées triomphent toujours... C'est à cela qu'on reconnait qu'elles étaient bonnes !
bonjour
pi-r2 nous dit que 5 est une racine évidente, hum, ce n'est pas si évident
@Quartzez
En fait dans le cas général la factorisation d'un polynome de degré 3 est difficile. Il y a la méthode de Cardan par exemple, mais on ne l'applique que rarement à la main et on utilise plutôt un programme. Sauf si on nous dit qu'il y a une racine entière "évidente".
Si n est une telle racine entière alors:
n^3-4n²-25 = 0
n(n²-4n) = 25
donc n divise 25
mieux:
n²(n-4) = 25
donc n² divise 25
donc n est parmi {1, -1, 5, -5}
On teste ces 4 valeurs possibles, on trouve que 5 convient et la on peut factoriser par (x-5)
D'accord, merci vous deux. C'est vrai que le 5 n'était- pas évident pour moi.
@ joel, en fait que veut dire "Si n est une telle racine entière" ?
une racine entière ?
une racine de
... -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
Ah ok, merci !
Désolée du double post.
Mais si on ne trouve pas de racine évidente, que cela veut-il dire ? Que l’équation n'a pas de solution( dans le cas d'une équation du troisième degré) ?
Ce n'est pas parce qu'on ne sait pas trouver de calcul de solution d'une équation qu'il n'y en a pas.
Ce n'est pas parce qu'on n'a pas trouvé des champignons dans le bois qu'il n'y en a pas.
Pour la plupart des équations, on n'a pas de calcul donnant les solutions. C'est dommage, mais c'est comme ça.
Cordialement.
Dernière modification par gg0 ; 23/10/2015 à 16h46.
Non, il existe une méthode générale de résolution des équations du troisième degré. De manière générale, un polynôme de degré n a au plus n racines, et si on travaille dans l'ensemble des nombres complexes, on trouve toujours ces racines. Si on se limite à l'ensemble des solutions réelles, on va trouver de 0 à n racines réelles.Envoyé par Quartzey
Les bonnes idées triomphent toujours... C'est à cela qu'on reconnait qu'elles étaient bonnes !
Ah d'accord, mais là ça dépasse mon niveau...
