Bonsoir,
Je dois prouver que A et B sont des ensembles, et donc (A U B) ∩ ( A ∩ (B complémentaire) ) = A
Visuellement ça donne quoi pour (A U B) ∩ ( A ∩ (B complémentaire) ) = A ????
Je sais ce qu'est une union et une intersection mais c'est ceci que je comprends pas ∩ ( A ∩ (B complémentaire) ) = , je ne sais pas comment re-présenter ça ?
Merci
Bonjour.
Il te suffit de faire un dessin en "patates" de A et B, puis de faire apparaître en hachurant les différents ensembles. Tu verras.
Sinon, ça se fait directement en appliquant les définitions de U et ∩ :
x est dans (A U B) ∩ ( A ∩ (B complémentaire) ) si et seulement si x est dans (A U B) et x est dans ( A ∩ (B complémentaire) ) donc si et seulement si ... (à toi de continuer, c'est ton exercice).
Cordialement.
Bonsoir,
Cette égalité est fausse.Envoyé par augustin1340
Cordialement
Dernière modification par PlaneteF ; 27/01/2016 à 22h17.
Bonsoir,
Je me suis trompé dans l'énoncer, je m'excuse il s'agit de (A ∩ B) U ( A ∩ (B complémentaire) ) = A (c'est celui là l'exercice)
Je viens de réaliser le diagramme de Venn, il est en annexe, est-ce que tu peux y jeter un coup d'oeil et me dire si c'est bon ?
Ensuite, voici mon raisonnement:
Un élément de A est dans B ou non
S'il est dans B, il est dans A ∩ B
S'il n'est pas dans B, il est dans ( A ∩ (B complémentaire) )
et donc x est bien dans A ????
Merci
Remarque :
Tu peux aussi utiliser la distributivité de l'intersection par rapport à la réunion et la démonstration est immédiate.
Cdt
Dernière modification par PlaneteF ; 27/01/2016 à 22h32.
Bonsoir PlaneteF,
Merci pour toutes tes remarques, mais si je fais comme j'ai écris plus en haut est-ce que c'est déjà suffisant, parce que je suis pas très doué en math.
Ton raisonnement ne mène à rien, tu pars depour arriver à ...
Cdt
Dernière modification par PlaneteF ; 27/01/2016 à 23h41.
Et donc
Et donc là aussi
Donc dans les 2 cas
Maintenant il faut démontrer l'inclusion dans l'autre sens.
Cf. mon message précédent.
Cdt
Dernière modification par PlaneteF ; 27/01/2016 à 23h51.
plus précisément tu montres que si
x app à (A ∩ B) U ( A ∩ (B complémentaire) ) alors x app à A
ce qui n'est qu'une implication, pas une équivalence.
mess croisé.
Sur ton diagramme de Venn, tu peux faire apparaître (A ∩ B) en le hachurant, puis de même ( A ∩ (B complémentaire) ). Tu verras que ça hachure complétement A et seulement A. Ce qui n'est pas totalement une preuve.
Donc soit tu fais la deuxième partie de ta preuve, soit tu utilises ce que te proposait PlanèteF au message #5 : la propriété
Cordialement.
